理想気体がする仕事
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/02 07:10 UTC 版)
理想気体が断熱準静的に変化するとき、圧力と体積の間にはポアソンの法則 p V γ = c o n s t . {\displaystyle pV^{\gamma }=\mathrm {const.} } が成り立つ。断熱準静的過程の間に理想気体がする仕事はポアソンの法則を用いて具体的に求めることができる。Cを適当な定数としてポアソンの法則は p = C V γ {\displaystyle p={\frac {C}{V^{\gamma }}}} と変形できる。断熱準静的に状態AからBに変化するとき、系が外部に行う仕事は W A → B = ∫ V A V B p d V = ∫ V A V B C V γ d V = 1 γ − 1 ( C V A γ − 1 − C V B γ − 1 ) {\displaystyle W_{A\to B}=\int _{V_{A}}^{V_{B}}pdV=\int _{V_{A}}^{V_{B}}{\frac {C}{V^{\gamma }}}dV={\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {C}{V_{A}^{\gamma -1}}}-{\frac {C}{V_{B}^{\gamma -1}}}\right)} である。ここで定数Cは C = p A V A γ = p B V B γ {\displaystyle C=p_{A}V_{A}^{\gamma }=p_{B}V_{B}^{\gamma }} であり、理想気体の状態方程式pV = nRTとγ = 1+1/cを用いて W A → B = 1 γ − 1 ( p A V A γ V A γ − 1 − p B V B γ V B γ − 1 ) = 1 γ − 1 ( p A V A − p B V B ) = n R γ − 1 ( T A − T B ) = n c R ( T A − T B ) {\displaystyle W_{A\to B}={\frac {1}{\gamma -1}}\left({\frac {p_{A}V_{A}^{\gamma }}{V_{A}^{\gamma -1}}}-{\frac {p_{B}V_{B}^{\gamma }}{V_{B}^{\gamma -1}}}\right)={\frac {1}{\gamma -1}}(p_{A}V_{A}-p_{B}V_{B})={\frac {nR}{\gamma -1}}(T_{A}-T_{B})=ncR(T_{A}-T_{B})} となる。 これは系が外部に行う仕事が内部エネルギーの変化に等しいことを表している。
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