滑車が慣性と摩擦を持つ場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/15 14:30 UTC 版)
「アトウッドの器械」の記事における「滑車が慣性と摩擦を持つ場合」の解説
m1 と m2 の間にわずかな差しかない場合には、滑車の慣性モーメント I が無視できなくなる。滑車の半径を r とすると、滑車とひもが互いに滑らないという条件のもとで、滑車の角加速度 α は以下で与えられる。 α = a r {\displaystyle \alpha ={a \over r}} トルクの合計 Nnet を用いて α についての運動方程式を立てると I α = N n e t = ( T 1 − T 2 ) r − N f {\displaystyle {\begin{aligned}I\alpha &=N_{\mathrm {net} }\\&=\left(T_{1}-T_{2}\right)r-N_{\mathrm {f} }\\\end{aligned}}} Nf は摩擦によるトルクを表し、 T1 と T2 はそれぞれ m1 側と m2 側のひもの張力を意味する。上式をおもり二つの運動方程式と連立させ、 a 、 T1 、 T2 について解くと a = g ( m 1 − m 2 ) − N f r m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})-{N_{\mathrm {f} } \over r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} T 1 = m 1 g ( 2 m 2 + I r 2 + N f r g ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{{N_{\mathrm {f} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} T 2 = m 2 g ( 2 m 1 + I r 2 + N f r g ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{{N_{\mathrm {f} }} \over {rg}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} 滑車の軸受けでの摩擦が無視できる（が、滑車の慣性は無視できず、滑車とひもは互いに滑らない）場合には、上の三式は以下のように単純化される。 a = g ( m 1 − m 2 ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle a={{g(m_{1}-m_{2})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} T 1 = m 1 g ( 2 m 2 + I r 2 ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{1}={{m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}} T 2 = m 2 g ( 2 m 1 + I r 2 ) m 1 + m 2 + I r 2 {\displaystyle T_{2}={{m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}})} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}
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