波束の速度と群速度
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/26 01:20 UTC 版)
単純化のため、一次元の場合について述べる。分散関係が ω = ω ( k ) {\displaystyle \omega =\omega (k)} で表される波動 ϕ ( x , t ) = ∫ d k ϕ ( k ) exp i [ k x − ω ( k ) t ] {\displaystyle \phi (x,t)=\int \mathrm {d} k\,\phi (k)\exp i[kx-\omega (k)t]} について、 ϕ ( k ) {\displaystyle \phi (k)} が k = k0 から離れると速やかに減衰する、つまり波束であるとする。 このとき、 ω ( k ) = ω ( k 0 ) + d ω d k | k = k 0 ( k − k 0 ) + O ( ( k − k 0 ) 2 ) {\displaystyle \omega (k)=\omega (k_{0})+\left.{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}\right|_{k=k_{0}}(k-k_{0})+O((k-k_{0})^{2})} の高次項の寄与は無視すると、 ϕ ( x , t ) ≃ ∫ d k ϕ ( k ) exp i [ k x − ω 0 t − d ω d k ( k − k 0 ) t ] = exp i ( k 0 x − ω 0 t ) ∫ d k ϕ ( k ) exp i ( x − d ω d k t ) ( k − k 0 ) = exp i ( k 0 x − ω 0 t ) ⋅ I ( x − d ω d k t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (x,t)&\simeq \int \mathrm {d} k\,\phi (k)\exp i\left[kx-\omega _{0}t-{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}(k-k_{0})t\right]\\&=\exp i(k_{0}x-\omega _{0}t)\int \mathrm {d} k\,\phi (k)\exp i\left(x-{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}t\right)(k-k_{0})\\&=\exp i(k_{0}x-\omega _{0}t)\cdot I\left(x-{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}t\right)\end{aligned}}} と表せる（ただし ω0 = ω(k0) 、I は積分を遂行した結果の関数）。 振動を消去すると ϕ ( x , t ) ∼ I ( x − d ω d k t ) {\displaystyle \phi (x,t)\sim I\left(x-{\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}t\right)} であるが、これはまさしく波形 I(k) が速度 dω/dk で伝播する様子を表している。 分散が強い場合、つまり高次項の寄与が無視できない場合には「群速度が波束の速度である」という物理的意味は失われる。
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