正弦三倍角円とは？わかりやすく解説

三角形幾何学（ドイツ語版）において、正弦三倍角円（せいげんさんばいかくえん^[1]、英: sine-triple-angle circle）は、三角形に関して定義される円の一つである^[2]^[3]。 $△ ABC$ について、 $BC$ 上の点 $A 1, A 2$ 、 $CA$ 上の点 $B 1, B 2$ 、 $AB$ 上の点 $C 1, C 2$ を、式 $∠ A = ∠ AB 1 C 1 = ∠ AC 2 B 2$ 、 $∠ B = ∠ BC 1 A 1 = ∠ BA 2 C 2$ 、 $∠ C = ∠ CA 1 B 1 = ∠ CB 2 A 2$ を満たすようにとる。このとき、 $A 1, A 2, B 1, B 2, C 1, C 2$ は同一円周上にある。この円を正弦三倍角円という^[4]。初め、タッカーとノイベルグはこの円をフランス語で "cercle triplicateur" と呼んでいた^[5]^{[注釈 1]}。

性質

$A 1 A 2 : B 1 B 2 : C 1 C 2 = sin (3 A) : sin (3 B) : sin (3 C)$ を満たす^[6]。これが、正弦三倍角円の名称の理由である。しかし、3辺をこの比で切るような円は無数に存在する。そのような円の中心は内心（英語版）、3つの傍心および正弦三倍角円の中心 $X 49$ を通る双曲線上に存在する^[7]。
九点円と正弦三倍角円の相似中心はコスニタ点 $X 54$ とキーペルト放物線の焦点 $X 110$ である。
外接円と正弦三倍角円の相似中心はブロカール円でジェラベク双曲線の中心を反転した点 $X 184$ と、 $X 1147$ である^[8]。
それぞれ $A, B, C$ の正弦三倍角円における極線と $BC, CA, AB$ の交点は共線である^[9]。
正弦三倍角円の半径は、