(n + 1) 次元空間におけるユークリッド座標
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)
「超球面」の記事における「(n + 1) 次元空間におけるユークリッド座標」の解説
n-次元球面 Sn を定義する (n + 1)-次元空間内の点 (x1, x2, …, xn+1) 全体の成す集合は、方程式 r 2 = ∑ i = 1 n + 1 ( x i − c i ) 2 {\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2}} によって表される、ただし c = (c1, c2, …, cn+1) は中心であり r は半径である。 上の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間に存在し、n 次元多様体の例である。半径 r の n 次元球面の体積形式 ω は ω = 1 r ∑ j = 1 n + 1 ( − 1 ) j − 1 x j d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x j − 1 ∧ d x j + 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 = ∗ d r {\displaystyle \omega ={1 \over r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*\;dr} によって与えられる、ただし ∗ はホッジスター作用素である； r = 1 の場合のこの公式の証明と議論は Flanders (1989, §6.1) を見よ。結果として、 d r ∧ ω = d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n + 1 . {\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}
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