階乗冪
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/10 03:23 UTC 版)
数学、とくに離散数学の各分野における階乗冪（かいじょうべき、英: factorial power[1]) は、冪乗によく似た演算だが、階乗のように因子が 1 ずつずれていく。階乗冪には下降階乗冪 (falling factorial) [* 1]と上昇階乗冪 (rising factorial) [* 2]とがある。また、両方向へずらしながら積をとる類似の概念に、中心階乗冪 (central factorial) がある[2]。
注釈
- ^ 降冪、下方階乗冪とも。
- ^ 昇冪、上方階乗冪とも。
- ^ 特に (x)n のことを言い、上昇階乗冪を表す記号とする文献もあるので注意（この場合、下降階乗冪は (x − n + 1)n と書ける）。また、ポッホハマー自身はこれを二項係数を表すため用いた。詳細はポッホハマー記号の項目を参照。
- ^ このような記法では
- ^ 右辺は反射公式による。
- ^ x = 0 の場合、階乗冪は当然 0 であるがガンマ関数による表記は x = 0 の場合もカバーしている。また、x < n のときの自然数 x に対する下降階乗冪、および −x < n のときの負の整数 x に対する上昇階乗冪も 0 になるが、それもカバーしている。
- ^ ガンマ関数は 0 および負の整数で極を持つため、中辺の式では定義できない。
- ^ が、和分差分学における指数函数に相当する概念とは異なる。(結城浩『離散系バージョンの関数探し』)
- ^ ただし、非整数 α に対して
- ^ 羅: umbra は「日影」の意
出典
- ^ Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 1, 3rd ed., p. 50.
- ^ Weisstein, Eric W. "Central Factorial". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol". mathworld.wolfram.com (英語).
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