斜方投射された物体の運動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/10 01:55 UTC 版)
「斜方投射」の記事における「斜方投射された物体の運動」の解説
日常的な範囲においては斜方投射された物体は地表付近で運動することになる。このときの物体の地表面からの高さは地球の半径と比べて十分小さいため、物体にはたらく重力は一定とみなせる。ここで水平方向に x {\displaystyle x} 軸、鉛直上向きに y {\displaystyle y} をとると、斜方投射された物体の速度および位置は v x = v 0 cos θ , v y = − g t + v 0 sin θ ; x = v 0 t cos θ , y = − 1 2 g t 2 + v 0 t sin θ + y 0 {\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}&=v_{0}\cos \theta ,\\v_{y}&=-gt+v_{0}\sin \theta ;\\x&=v_{0}t\cos \theta ,\\y&=-{\frac {1}{2}}gt^{2}+v_{0}t\sin \theta +y_{0}\end{aligned}}} と表される。 ここで v x {\displaystyle v_{x}} 、 v y {\displaystyle v_{y}} はそれぞれ物体の速度のx成分、y成分であり、 v 0 {\displaystyle v_{0}} は初速度、 θ {\displaystyle \theta } は投射の角度、 t {\displaystyle t} は投射してからの経過時間である。また、 y 0 {\displaystyle y_{0}} は物体の初期高度であり、物体のx成分の初期位置は0としてある。 まず、 y 0 = 0 {\displaystyle y_{0}=0} の時を考えると y = − g 2 v 0 2 cos 2 θ x 2 + x tan θ {\displaystyle y=-{\dfrac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}+x\tan \theta } となり、yはxの二次関数として表されるので物体の描く軌跡は放物線となることがわかる。またこの式より、 0 < θ < π / 2 {\displaystyle 0<\theta <\pi /2} のとき、物体の高度が y = 0 {\displaystyle y=0} となる位置を x 0 {\displaystyle x_{0}} とすると、 x 0 = v 0 2 sin 2 θ g {\displaystyle x_{0}={\frac {{v_{0}}^{2}\sin 2\theta }{g}}} となり、投射された物体が最大到達距離となる投射角度 θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} は θ 0 = π 4 {\displaystyle \theta _{0}={\frac {\pi }{4}}} 以上より、初期高度が0の時に最大到達距離となる投射角は 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} である。 次に、 y 0 = h {\displaystyle y_{0}=h} において最大到達距離となる投射角度 θ {\displaystyle \theta } は tan θ = v 0 v 0 2 + 2 g h {\displaystyle \tan \theta ={\dfrac {v_{0}}{\sqrt {v_{0}^{2}+2gh}}}} となり、初期高度がある場合、最大到達距離となる投射角は 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} よりも小さくなる。 この時の最大到達距離 x {\displaystyle x} は x = v 0 v 0 2 + 2 g h g {\displaystyle x={\dfrac {v_{0}{\sqrt {v_{0}^{2}+2gh}}}{g}}} となる。
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