散乱状態の部分波展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2014/12/17 14:48 UTC 版)
散乱状態は、入射平面波と散乱球面波の足しあわせであると考える。 ψ + ( r , θ ) = e i k ⋅ r + f ( θ ) e i k r r ⋯ ( 2 ) {\displaystyle \psi ^{+}(r,\theta )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\quad \cdots (2)} また、ルジャンドル多項式 P l ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}(\cos \theta )\ } は完全系をなす。 ∫ 0 π P l ( cos θ ) P l ′ ( cos θ ) sin θ d θ = 2 2 l + 1 δ l , l ′ {\displaystyle \int _{0}^{\pi }P_{l}(\cos \theta )P_{l'}(\cos \theta )\sin \theta d\theta ={\frac {2}{2l+1}}\delta _{l,l'}} よって散乱振幅を P l ( cos θ ) {\displaystyle P_{l}(\cos \theta )\ } の線形結合で表すことができる。その展開係数を a l {\displaystyle a_{l}\ } とすると、 f ( θ ) = ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) 2 i k a l P l ( cos θ ) ⋯ ( 3 ) {\displaystyle f(\theta )=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(2l+1)}{2ik}}a_{l}P_{l}(\cos \theta )\quad \cdots (3)} よって(2)式に(1)、(3)式を代入すると、 r {\displaystyle r\ } が非常に大きいところでの散乱状態 ψ + ( r , θ ) {\displaystyle \psi ^{+}(r,\theta )\ } は、 ψ + ( r , θ ) → ∑ l = 0 ∞ ( 2 l + 1 ) 2 i k [ ( 1 + a l ) e i k r r − ( − 1 ) l e − i k r r ] P l ( cos θ ) ( r → ∞ ) ⋯ ( 4 ) {\displaystyle \psi ^{+}(r,\theta )\to \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(2l+1)}{2ik}}{\Big [}(1+a_{l}){\frac {e^{ikr}}{r}}-(-1)^{l}{\frac {e^{-ikr}}{r}}{\Big ]}P_{l}(\cos {\theta })\quad (r\to \infty )\quad \cdots (4)} この括弧内の第一項目は外向き球面波を、第二項目は内向き球面波をそれぞれ表している。
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