成分関数の微分可能性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/01/02 17:04 UTC 版)
「多変数の微分」の記事における「成分関数の微分可能性」の解説
f {\displaystyle {\textbf {f}}} の第 i 成分 f i {\displaystyle {f}_{i}} は以下の等式を満たす。 f i ( x ) = y i ∘ f ( x ) = ⟨ e i | f ( x ) ⟩ {\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {e} _{i}\ |\ \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle } (1-11) 上式において ⟨ ⋅ | ⋅ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle } は内積を意味する。 式 (1-10), (1-11) を用いて、 f i {\displaystyle {f}_{i}} を（(1-5) の定義式通りに） p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分することを考える。 f {\displaystyle {\textbf {f}}} が p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能ならば、 f i {\displaystyle f_{i}} は p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能で、 ∂ [ a ] f i | [ p ] = lim t → 0 f i ( p + t a ) − f i ( p ) t = e i ⋅ ( lim t → 0 ( f ( p + t a ) − f ( p ) t ) ) = t e i ⋅ ∂ [ a ] f | [ p ] = ∂ [ a ] f | [ p ] ⋅ e i {\displaystyle {\begin{aligned}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,{f}_{i}(\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-{f}_{i}(\mathbf {p} )}{t}}\\&={\textbf {e}}_{i}\cdot \left({\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)\right)\\&={}^{t}{\textbf {e}}_{i}\cdot {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&={\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\cdot {\textbf {e}}_{i}\end{aligned}}} (1-12) が成立する。 逆に、式(1-1)より、 f ( x 1 , … , x n ) = ( f 1 ( x 1 , … , x n ) ⋮ f m ( x 1 , … , x n ) ) = ∑ i = 1 m f i ( x ) e i {\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}} (1-13) なので、 f 1 , ⋯ , f m {\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}} すべてが p {\displaystyle {\textbf {p}}} で a {\displaystyle {\textbf {a}}} について偏微分可能であれば、 f {\displaystyle {\textbf {f}}} も微分可能で、 ∂ [ a ] f | [ p ] = ( ∂ [ a ] f 1 | [ p ] ⋮ ∂ [ a ] f m | [ p ] ) {\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}=\left({\begin{matrix}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{1}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\vdots \\{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{m}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)} (1-14) が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。
※この「成分関数の微分可能性」の解説は、「多変数の微分」の解説の一部です。
「成分関数の微分可能性」を含む「多変数の微分」の記事については、「多変数の微分」の概要を参照ください。
- 成分関数の微分可能性のページへのリンク
