性質一覧表
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 23:19 UTC 版)
表中の凡例 u ( t ) {\displaystyle u(t)} : ヘビサイド関数 ( f ∗ g ) ( t ) {\displaystyle (f*g)(t)} : f と g の畳み込み f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)} : f (t) の 1 階微分 f ( n ) ( t ) {\displaystyle f^{(n)}(t)} : f (t) の n 階微分 片側ラプラス変換の性質（その 1）性質原関数 f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}} （'t' 領域 / 時間領域）像関数 F ( s ) = L { f ( t ) } {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}} （'s' 領域 / 周波数領域）備考線形性 a f ( t ) + b g ( t ) {\displaystyle af(t)+bg(t)~} a F ( s ) + b G ( s ) {\displaystyle aF(s)+bG(s)~} 相似性 f ( a t ) {\displaystyle f(at)~} 1 a F ( s a ) {\displaystyle {1 \over a}F\left({s \over a}\right)} ただし、a > 0 移動 f ( t − a ) u ( t − a ) {\displaystyle f(t-a)u(t-a)~} e − a s F ( s ) {\displaystyle \mathrm {e} ^{-as}F(s)~} f ( t + λ ) {\displaystyle f(t+\lambda )~} e λ s { F ( s ) − ∫ 0 λ e − s t f ( t ) d t } {\displaystyle \mathrm {e} ^{\lambda s}\left\{F(s)-\int _{0}^{\lambda }\mathrm {e} ^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t\right\}~} 移動第 2 則ただし、λ > 0 1 階微分 f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)~} s F ( s ) − f ( 0 ) {\displaystyle sF(s)-f(0)~} ただし、ƒ は 1 階微分可能とする。 2 階微分 f ″ ( t ) {\displaystyle f''(t)\,} s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\,} ただし、ƒ は 2 階微分可能とする。 n 階微分 f ( n ) ( t ) {\displaystyle f^{(n)}(t)~} s n F ( s ) − s n − 1 f ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)~} ただし、ƒ は n 階微分可能とする。 積分 ∫ 0 t f ( τ ) d τ = ( u ∗ f ) ( t ) {\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau =(u*f)(t)~} 1 s F ( s ) {\displaystyle {1 \over s}F(s)~} 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 t ( t − q ) n − 1 f ( q ) d q {\displaystyle {\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{t}(t-q)^{n-1}f(q)\mathrm {d} q~} 1 s n F ( s ) {\displaystyle {\frac {1}{s^{n}}}F(s)~} ただし、n ≥ 1 ∫ 0 t ∫ 0 τ n − 1 ⋯ ∫ 0 τ 1 f ( τ ) d τ d τ 1 ⋯ d τ n − 1 {\displaystyle \int _{0}^{t}\int _{0}^{\tau _{n-1}}\cdots \int _{0}^{\tau _{1}}f(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrm {d} \tau _{1}\cdots \mathrm {d} \tau _{n-1}~} 1 s n F ( s ) {\displaystyle {\frac {1}{s^{n}}}F(s)~} 畳み込み ( f ∗ g ) ( t ) = ∫ 0 t f ( u ) g ( t − u ) d u {\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(u)\,g(t-u)\,du~} F ( s ) ⋅ G ( s ) {\displaystyle F(s)\cdot G(s)~} 周期関数 f ( t ) = f ( t + T ) {\displaystyle f(t)=f(t+T)~} 1 1 − e − T s ∫ 0 T e − s t f ( t ) d t {\displaystyle {1 \over 1-\mathrm {e} ^{-Ts}}\int _{0}^{T}\mathrm {e} ^{-st}f(t)\,\mathrm {d} t} f (t) は周期 T の周期関数。 片側ラプラス変換の性質（その 2）性質像関数 F ( s ) = L { f ( t ) } {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}} （'s' 領域 / 周波数領域）原関数 f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}} （'t' 領域 / 時間領域）備考移動 F ( s − a ) {\displaystyle F(s-a)~} e a t f ( t ) {\displaystyle \mathrm {e} ^{at}f(t)~} 1 階微分 F ′ ( s ) {\displaystyle F'(s)~} − t f ( t ) {\displaystyle -tf(t)~} ただし、F は1 階微分可能とする。 2 階微分 F ′ ′ ( s ) {\displaystyle F^{\prime \prime }(s)\,} t 2 f ( t ) {\displaystyle t^{2}f(t)\,} ただし、F は 2 階微分可能とする。 n 階微分 F ( n ) ( s ) {\displaystyle F^{(n)}(s)~} ( − t ) n f ( t ) {\displaystyle (-t)^{n}f(t)~} ただし、F は n 階微分可能とする。 積分 ∫ s ∞ F ( σ ) d σ {\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma ~} f ( t ) t {\displaystyle {\frac {f(t)}{t}}~} ∫ s ∞ ∫ σ n − 1 ∞ ⋯ ∫ σ 1 ∞ F ( σ ) d σ d σ 1 ⋯ d σ n − 1 {\displaystyle \int _{s}^{\infty }\int _{\sigma _{n-1}}^{\infty }\cdots \int _{\sigma _{1}}^{\infty }F(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma \mathrm {d} \sigma _{1}\cdots \mathrm {d} \sigma _{n-1}~} f ( t ) t n {\displaystyle {\frac {f(t)}{t^{n}}}~} 畳み込み ( F ∗ G ) ( s ) = 1 2 π i ∫ c − i ∞ c + i ∞ F ( σ ) G ( s − σ ) d σ {\displaystyle (F*G)(s)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{c-\mathrm {i} \infty }^{c+\mathrm {i} \infty }F(\sigma )\,G(s-\sigma )\mathrm {d} \sigma } f ( t ) g ( t ) {\displaystyle f(t)\,g(t)}
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