必須な構成要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 02:29 UTC 版)
「シュニレルマン密度」の記事における「必須な構成要素」の解説
アレクサンドル・ヒンチン(Aleksandr Khinchin)は、平方数の数列は、例えシュニレルマン密度 0 であったとしても、シュニレルマン密度が 0 と 1 の間の数列を加えると、密度が増大することを証明した。全ての 0 < σ ( A ) < 1 {\displaystyle 0<\sigma (A)<1} である数列 A {\displaystyle A} に対し σ ( A + G 2 )> σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A+{\mathfrak {G}}^{2})>\sigma (A)} となる。このことは、すぐにポール・エルデシュ(Paul Erdős)により単純化され、かつ拡張され、A がシュニレルマン密度 α であり、B が次数(order) k の加法的な基であれば、 σ ( A + B ) ≥ α + α ( 1 − α ) 2 k {\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha +{\frac {\alpha (1-\alpha )}{2k}}} が成り立つことを示した。プリューネッケ(Plünnecke)は、さらに改善し、 σ ( A + B ) ≥ α 1 1 − k {\displaystyle \sigma (A+B)\geq \alpha ^{\frac {1}{1-k}}} を示した。 この加法により密度が増える性質を持つ数列は、ヒンチンにより必須な構成要素(essential components)と名付けられた。ユーリ・リンニク（英語版）(Yuri Linnik)は、 x より小さな xo(1) 個の元を持つ必須な構成要素を構成することで、必須な構成要素が必ずしも加法的な基である必要はないことを示した。さらに詳しくは、数列がある C < 1 に対し x よりも小さな元を e ( log x ) C {\displaystyle e^{(\log x)^{C}}\,} 個持っていることを、彼は示した。この結果は、E. ワーシング(E. Wirsing)により、 e log x log log x {\displaystyle e^{{\sqrt {\log x}}\log \log x}} まで改善された。 暫くの間、どのくらい多くの要素を必須な構成要素が持たねばならないかについては未解決問題であった。最終的には、イムレ・ルッツァ（英語版）(Imre Z. Ruzsa)は、必須な構成要素はある x に対しては少なくとも ( log x ) C {\displaystyle (\log {x})^{C}} 個の元を持ち、全ての C> 1 に対して x に対して必須な構成要素は高々 (log x)C 個の元しか持たないことを結論付けた。
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