弦_(幾何学)

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弦 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/31 00:55 UTC 版)

赤い線分 BX はこの円の弦である。（線分 AB は円の直径）

初等幾何学における円の弦（げん、英: chord^{[注釈 1]}）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。

• 直径 (Diameter)
• 半径 (Radius)
• 弦 (Chord)
• 割線 (Secant)
• 接線 (Tangent)

円の弦

→「en:Circle § Chord」も参照

円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:

1. 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
2. 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。
3. 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
4. 弦 AB および CD を延長して得られる割線が点 P で交わるならば、それらの長さは AP·PB = CP·PD を満足する（方冪の定理）。

楕円の弦

楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある^[1]。

弦をもとにした三角法

三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表（英語版）で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）^[2]。

中心角 θ に対する弦; 弦の半分が正弦

弦函数 crd は幾何学的には（図のように）中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)（r は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ≤ π の範囲に入るものと考えている。この元函数 crd をより現代的な正弦函数 sin と関連付けることができる。それには、一点 (1, 0) ともう一つの点 (cos(θ), sin(θ)) を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると $${\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \!{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}}$$