定義、例、性質 [編集]
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2013/05/17 04:23 UTC 版)
「σ集合環」の記事における「定義、例、性質 [編集]」の解説
定義 集合 X 上の σ-集合環とは、可算合併に関して閉じている集合環を言う 任意の σ-集合代数は σ-集合環である。集合代数が全体集合 X を含む集合環であったと同様に、σ-集合代数は全体集合 X を含む σ-集合環を言う。 有限集合上の集合環は σ-集合環になる。集合代数を成さない有限集合上の集合環は、σ-集合代数でない σ-集合環の例を与える。例えば二元集合 {a, b} の集合環 { ∅, {a} } は σ-集合環だが σ-集合代数でない。 任意の集合 X 上の高々可算な部分集合全体の成す族 Ρ は σ-集合環であり、これが生成する σ-集合代数 Σ は で与えられる。X が非可算無限集合ならば、Ρ は Σ に真に含まれ、Ρ は σ-集合代数ではない σ-集合環の例を与える。 ブール環と見て、集合代数は交叉に関する単位元を持つ。より一般の集合環は（特に σ-集合環は）、上記 { ∅, {a} } の例のように単位元を持つものもあれば、次の例のように単位元を持たないものもある。集合環 Τ が交叉に関する単位元を持つ必要十分条件が であることを見るのは易しい。X 上の σ-集合環が交叉に関する単位元 Y を持てば、実は Y 上の σ-集合代数になる。。 任意の σ-集合環は δ-集合環であるが逆は真ではない（δ-集合環の項を参照）。
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