変量統計のモーメント
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/03/15 08:06 UTC 版)
「モーメント (数学)」の記事における「変量統計のモーメント」の解説
変量統計における、データ x1, …, xN のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では μ n ( 0 ) = 1 N ∑ i = 1 N x i n , μ n ( c ) = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − c ) n , μ n = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) n {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}} と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。 もう1つの変量統計のモーメントの定義では μ n ( 0 ) = ∑ i = 1 N x i n , μ n ( c ) = ∑ i = 1 N ( x i − c ) n , μ n = ∑ i = 1 N ( x i − μ ) n {\displaystyle \mu _{n}^{(0)}=\sum _{i=1}^{N}{x_{i}}^{n},\quad \mu _{n}^{(c)}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-c)^{n},\quad \mu _{n}=\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{n}} と表される。 この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。 μ 0 ( 0 ) = N {\displaystyle \mu _{0}^{(0)}=N} 。 μ = μ 1 ( 0 ) / N {\displaystyle \mu =\mu _{1}^{(0)}/N} は平均値。 σ 2 = μ 2 / N = { μ 2 ( 0 ) − ( μ 1 ( 0 ) ) 2 } / N {\displaystyle \sigma ^{2}=\mu _{2}/N=\{\mu _{2}^{(0)}-(\mu _{1}^{(0)})^{2}\}/N} は分散、 σ = μ 2 / N {\displaystyle \sigma ={\sqrt {\mu _{2}/N}}} は標準偏差。 γ 1 = μ 3 / N σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}=\mu _{3}/N\sigma ^{3}} は歪度。 γ 2 = μ 4 / N σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}=\mu _{4}/N\sigma ^{4}-3} は尖度。
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