基底 (線型代数学)

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基底 (線型代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/01 04:01 UTC 版)

線型代数学における基底（きてい、英: basis）は線型空間の線型独立な生成系である^[1]。

概要

あらゆる線型空間はそれを生成できる線型独立なベクトル集合を1つ以上持つ。言い換えれば、線型結合で空間の全ベクトルを一意に表せるベクトル集合が常に存在する。そしてそれらベクトルの個数は各線形空間で一意に定まる。つまりあらゆる線形空間は「座標系」のような定数個の基本要素の線型結合で必ず表現できる^[2]。このように線形空間を特徴づける、線型独立な生成系のことを基底と呼ぶ。

基底の取り方に依らない、基底ベクトルの個数（濃度）は次元と呼ばれる。基底が常に存在することは基底の存在定理で証明される。

R² の標準基底を示した図。青とオレンジがこの基底の元である。緑のベクトルは基底ベクトルの一次結合で表されており、故にこの三者は線型従属である。

定義

体 F 上の線型空間 V の基底 B とは、V の線型独立な部分集合で、V を張る（生成する）ものを言う^[1]。

より具体的には、Vのn個のベクトルの集合B = {v₁, …, v_n}（または列B=(v₁, …, v_n)）が基底であるとは、条件として

線型独立性

a₁, …, a_n ∈ F に対して a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 が成り立つならば、a₁ = … = a_n = 0 でなければならない。

全域性

V のどんな元 x も、適当な a₁, …, a_n ∈ F を選んで x = a₁v₁ + … + a_nv_n が成り立つようにできる。

を何れも満足することを言う。最後の等式における係数 a_i は基底 B に関する 座標と呼ばれ、線型独立性により座標は一意的に定まることが分かる。

上記の条件を満たす整数nが存在するとき、その線形空間は有限次元であるという。そのようなnが存在しないときは無限次元であるという。無限次元線形空間を扱うには、上記定義を一般化して、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。すなわち、（有限または無限の）部分集合 B ⊂ V が基底であるとは、

• 任意の有限部分集合 B₀ ⊆ B が既に述べた意味で線型独立性を持つ。
• 各 x ∈ V に対して、適当な有限個のスカラー a₁, …, a_n ∈ F とベクトル v₁, …, v_n ∈ B を選んで x = a₁v₁ + … + a_nv_n と表すことができる（n は x ごとに違ってよい）。

の二条件を満たすことを言う。最後の式の和は必ず有限和であることに注意。これは、代数的なベクトル空間の公理だけからは（適当な構造を追加しない限り）極限操作に関する議論が展開できず、無限和に意味を持たせることができないことによるものである。無限和の場合を許した、別な種類の基底の概念が定義される場合については後述。

基底ベクトルを特定の「順序」で並べることが便利なことがよくある（例えば、線型写像の基底に関する変換行列を考える場合など）。そこで、基底を V を張る線型独立なベクトルの（集合と考える代わりに）列（あるいは n-組）と見た、順序付けられた基底 (ordered basis) がしばしば用いられる（短く「順序基底」や「順序付き基底」などともいう）。この順序を含めたうえで単に「基底」と呼ぶことも多い。これについても後述。

基底の延長

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