バイリニア補間

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バイリニア補間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/12 00:22 UTC 版)

z値が0、1、1、0.5の単位正方形上のバイリニア補間の例。補間された値は色で表される。

数学において、バイリニア補間（バイリニアほかん、双線形補間、英語: Bilinear interpolation）とは、反復線形補間を用いて2変数（例えばxとy）の関数を補間する方法である。 通常は2次元の不規則格子（英語: rectilinear grid）上でサンプリングされた関数に適用されるが、任意の凸四辺形（のポリゴンメッシュ）の頂点上に定義された関数にも一般化できる。

バイリニア補間は、まずひとつの方向に線形補間を行い、次に別の方向に線形補間を行う。 各ステップはサンプリング値と位置について線形だが、補間全体は線形ではなく、サンプリング位置についての2次関数になる。

バイリニア補間は、コンピュータービジョンと画像処理における基本的な再サンプリング手法の 1 つで、バイリニアフィルタリングまたはバイリニアテクスチャマッピングとも呼ばれる。

計算

4つの赤い点はデータポイント、緑の点は補間するポイントを示す。

点 (x, y) における未知の関数f の値を求めるとする。 4つの点 Q₁₁ = (x₁, y₁)、Q₁₂ = (x₁, y₂)、 Q₂₁ = (x₂, y₁)、Q₂₂ = (x₂, y₂) におけるf の値は既知であると仮定する。

線形補間の反復

まずx方向に線形補間を行う。以下を得る。

${\begin{aligned}f(x,y_{1})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{11})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{21})\\f(x,y_{2})={\frac {x_{2}-x}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{12})+{\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}f(Q_{22})\end{aligned}}$

バイリニア補間の幾何学的視覚化。目的の点（黒）の値と全体の面積の積は、各コーナーの値と、そのコーナーの対角上の部分面積（対応する色）の積の合計に等しくなる。

解はf(Q)の加重平均として表すこともできる。

$f(x,y)\approx w_{11}f(Q_{11})+w_{12}f(Q_{12})+w_{21}f(Q_{21})+w_{22}f(Q_{22})$ バイリニア補間 バイキュービック補間

性質

バイリニア補間と他の1次元および2次元補間の比較。 黒のドットは補間されたポイント、赤/黄/緑/青のドットは隣接するサンプルを表す。各ドットの高さはそれぞれの値を示す。

バイリニア補間は、名前が示すように線形ではないが、xまたはy方向に平行な線に沿う（xまたはyが一定である）場合は線形（つまりアフィン）である。その他の直線に沿う場合は、補間は2次関数になる。 補間は位置（xとy）に関しては線形ではないが、上記の（行列）式に見られるように、ある固定点では補間値に対して線形である。

バイリニア補間の結果は、どの軸を最初に補間し、どの軸を次に補間するかには依存しない。 最初にy方向の線形補間を行い、次にx方向の線形補間を行った場合も、得られる近似値は同じになる。

補間関数は双線形多項式であり、ラプラス方程式を満たす調和関数でもある。 そのグラフはバイリニアベジェ曲面パッチである。

逆変換と一般化

一般に補間式は、（双曲線の枝を形成する）無限個の点において、（頂点値の凸包内の）任意の値をとるため、補間は可逆ではない。

しかし、ベクトル場を補間する場合など、バイリニア補間を2つの関数に同時に適用すると、補間は（特定の条件下で）可逆になる。 特に、この逆補間は、任意の凸四辺形内の点の「単位正方形座標」を（四辺形の座標を単位正方形上でバイリニア補間されるベクトル場と見なすことによって）導出するために使用できる。 この手順を使用すると、バイリニア補間を任意の凸四辺形に拡張できるが、平行四辺形でない場合は計算が大幅に複雑になる。 結果として得られる四辺形間の写像はバイリニア変換、バイリニアワープ、バイリニア歪みとして知られている。

あるいは、四辺形と単位正方形の間のホモグラフィを使用することもできるが、補間結果はバイリニアにはならない。

四辺形が平行四辺形である特殊なケースでは、単位正方形への線形写像が存在し、一般化が容易である。

バイリニア補間を3次元に拡張したものはトリリニア補間と呼ばれる。

逆変換

${\textstyle F}$ グレースケール値におけるバイリニア補間の例 例 右の例に示すように、行20.2、列14.5のピクセルの強度値は、まず行20と行21それぞれについて、列14と列15の値の間を線形補間することによって計算され、次のように表される。 ${\begin{aligned}I_{20,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 91+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 210=150.5\\I_{21,14.5}&={\frac {15-14.5}{15-14}}\cdot 162+{\frac {14.5-14}{15-14}}\cdot 95=128.5\end{aligned}}$ ポータル 数学 画像スケーリング 最近傍補間 バイキュービック補間 トリリニア補間（英語: Trilinear interpolation） スプライン補間 ランチョスリサンプリング（英語: Lanczos resampling） Stepped補間（英語: Stairstep interpolation） 重心座標系（英語: Barycentric coordinate system (mathematics)） - 三角形または四面体内の補間用