ベジェ曲面

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ベジェ曲面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/06/06 03:53 UTC 版)

ベジェ曲面（ベジェきょくめん、Bézier surface）は、コンピュータグラフィックス、コンピュータ支援設計（CAD）、および有限要素モデリングで使用される数学的スプライン（英語: spline (mathematics)）の一種である。 ベジェ曲線と同様に、ベジェ曲面も制御点の集合によって定義される。 ベジェ曲面は多くの点で補間と似ているが、中間の制御点を通常は通過しないという点が異なり、各制御点が引力を持っているかのように、曲面はそれらの方向へ「引き伸ばされる」形状になる。 視覚的に直感的であり、多くの用途において数学的にも扱いやすい特性を持っている。

歴史

ベジェ曲面は1962年にフランスの技術者ピエール・ベジェによって初めて定義され、自動車のボディ設計に用いられた 。 ベジェ曲面の次数は任意だが、バイキュービック（双3次）ベジェ曲面は、一般的にほとんどの用途において十分な自由度を備えている。

方程式

ベジェ曲面の例　赤:制御点、青:制御グリッド、黒:曲面（の近似）

与えられた次数 (n, m) のベジェ曲面は、(n + 1)(m + 1) 個の制御点の集合 k_i,j ただし i = 0, ..., n および j = 0, ..., m によって定義される。 これは、単位正方形を、k_i,j を含む空間内に埋め込まれた滑らかで連続的な曲面に写像する。 例えば、k_i,j がすべて4次元空間内の点である場合、曲面も4次元空間内に存在することになる。

2次元のベジェ曲面は、パラメトリック曲面（英語: parametric surface）として定義できる。 点 p の位置は、パラメトリック座標 u, v の、単位正方形の範囲内で評価される関数として、次のように与えられる 。

$\mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\,B_{j}^{m}(v)\,\mathbf {k} _{i,j}$

エドウィン・キャットマルによる、パッチで構成された「ガンボ」モデル

ベジェパッチメッシュは、滑らかな曲面を表現する上で、三角形メッシュよりも優れている。 曲面を表現するために必要な点数（つまりメモリ使用量）が少なく、操作が容易で、連続性の特性もはるかに優れている。 さらに、球面や円柱のような一般的なパラメトリック曲面も、比較的少数の3次ベジェパッチで十分に近似することができる。

しかしながら、ベジェパッチメッシュを直接レンダリングするのは困難である。 ベジェパッチの問題点のひとつは、直線との交点を計算するのが難しいことであり、そのためレイトレーシングなどの直接的な幾何学的手法（細分化や逐次近似法を用いない）には不向きである。また、透視投影アルゴリズムと直接組み合わせることも困難である。

このため、ベジェパッチメッシュは一般的に、3Dレンダリングパイプラインによって、平面三角形のメッシュに細分化される。 高品質なレンダリングでは、個々の三角形の境界が見えなくなるよう、細分化が調整される。

「のっぺりした」（英語: blobby）見た目を避けるために、この段階でテクスチャマップ、バンプマップ、その他のピクセルシェーダー技術を用いて、ベジェ曲面に細かいディテールが施されることがよくある。

次数 (m, n) のベジェパッチは、次数 m + n の2つのベジェ三角形から、あるいは、入力領域を三角形ではなく正方形として、次数 m + n の1つのベジェ三角形から構成することができる。

また、次数 m のベジェ三角形は、制御点の配置によって一辺を点に押しつぶす（英語: squash）、あるいは、入力領域を正方形ではなく三角形として、次数 (m, m) のベジェ曲面から構成することもできる。

関連項目

• NURBS
• 計算幾何学
• バイキュービック補間
• ベジェ曲線
• ベジェ三角形（英語: Bézier triangle）
• 重調和ベジェ曲面（英語: Biharmonic Bézier surface）