剰余演算の等価性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/01 22:52 UTC 版)
他の数学的演算と同様に、剰余演算についてもいくつかの演算を導出、または拡張することができる。そうすることで、ディフィー・ヘルマン鍵交換のような暗号学分野の証明が容易となるだろう。 同一性: ( a mod n ) mod n = a mod n {\displaystyle (a\,{\bmod {\,}}n)\,{\bmod {\,}}n=a\,{\bmod {\,}}n} n x mod n = 0 {\displaystyle n^{x}\,{\bmod {\,}}n=0} 正の整数 x の場合。 n {\displaystyle n} が素数であって b の約数でない場合、フェルマーの小定理によって a b n − 1 mod n = a mod n {\displaystyle ab^{n-1}\,{\bmod {\,}}n=a\,{\bmod {\,}}n} となる。 逆数: ( ( − a mod n ) + ( a mod n ) ) mod n = 0 {\displaystyle ((-a\,{\bmod {\,}}n)+(a\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n=0} b − 1 mod n {\displaystyle b^{-1}\,{\bmod {\,}}n} はモジュラ逆数を表す。これは b と n とが互いに素である場合にだけ、次式で定義される。 ( ( b − 1 mod n ) ( b mod n ) ) mod n = 1 {\displaystyle ((b^{-1}\,{\bmod {\,}}n)\,(b\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n=1} 分配則: ( a + b ) mod n = ( ( a mod n ) + ( b mod n ) ) mod n {\displaystyle (a+b)\,{\bmod {\,}}n=((a\,{\bmod {\,}}n)+(b\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n} a b mod n = ( ( a mod n ) ( b mod n ) ) mod n {\displaystyle ab\,{\bmod {\,}}n=((a\,{\bmod {\,}}n)\,(b\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n} 分数（定義）: a b mod n = ( ( a mod n ) ( b − 1 mod n ) ) mod n {\displaystyle {\frac {a}{b}}\,{\bmod {\,}}n=((a\,{\bmod {\,}}n)(b^{-1}\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n} 右辺が定義できる場合。そうでない場合は未定義。 逆数の乗算: ( ( a b mod n ) ( b − 1 mod n ) ) mod n = a mod n {\displaystyle ((ab\,{\bmod {\,}}n)\,(b^{-1}\,{\bmod {\,}}n))\,{\bmod {\,}}n=a\,{\bmod {\,}}n}
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