分散の構成要素
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/04 14:08 UTC 版)
「ランダム効果モデル」の記事における「分散の構成要素」の解説
Y i , j {\displaystyle Y_{i,j}} の分散は、 U i {\displaystyle U_{i}} の分散 τ 2 {\displaystyle \tau ^{2}} および W i , j {\displaystyle W_{i,j}} の分散 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} の和に等しい。 Y ¯ i , ∙ = 1 n ∑ j = 1 n Y i , j {\displaystyle {\overline {Y}}_{i,\bullet }={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}Y_{i,j}} を i {\displaystyle i} 番目の学校におけるスコアのうち無作為標本に含まれるものの平均値とすると、 Y ¯ ∙ , ∙ = 1 m n ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n Y i j {\displaystyle {\overline {Y}}_{\bullet ,\bullet }={\frac {1}{mn}}\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}Y_{ij}} が総平均となる。 S S W = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n ( Y i , j − Y ¯ i , ∙ ) 2 {\displaystyle \mathrm {SSW} =\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(Y_{i,j}-{\overline {Y}}_{i,\bullet })^{2}\,} S S B = n ∑ i = 1 m ( Y ¯ i , ∙ − Y ¯ ∙ , ∙ ) 2 {\displaystyle \mathrm {SSB} =n\sum _{i=1}^{m}({\overline {Y}}_{i,\bullet }-{\overline {Y}}_{\bullet ,\bullet })^{2}} 群内差の二乗和（squares due to differences within groups, SSW）および群間差の二乗和（squared due to differences between groups, SSB）は上記の通りであり、次の式が示される。 1 m ( n − 1 ) E ( S S W ) = σ 2 {\displaystyle {\frac {1}{m(n-1)}}\mathbb {E} (\mathrm {SSW} )=\sigma ^{2}} 1 ( m − 1 ) n E ( S S B ) = σ 2 n + τ 2 {\displaystyle {\frac {1}{(m-1)n}}\mathbb {E} (\mathrm {SSB} )={\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\tau ^{2}} これらの二乗平均期待値 expected mean squares は、分散成分 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} および τ 2 {\displaystyle \tau ^{2}} の推定に用いることができる。 τ 2 {\displaystyle \tau ^{2}} はクラス内相関係数 intraclass correlation coefficient とも呼ばれる。
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