凸最適化問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/28 14:27 UTC 版)
X {\displaystyle {\mathcal {X}}} 上の x ∗ {\displaystyle x^{\ast }} を見つける最適化問題である。 f ( x ∗ ) = min { f ( x ) : x ∈ X } , {\displaystyle f(x^{\ast })=\min\{f(x):x\in {\mathcal {X}}\},} ここで X ⊂ R n {\displaystyle {\mathcal {X}}\subset \mathbb {R} ^{n}} は実現可能集合で、 f ( x ) : R n → R {\displaystyle f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } は目的関数である。 X {\displaystyle {\mathcal {X}}} が閉凸集合で、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 上で f ( x ) {\displaystyle f(x)} が凸関数であれば、これを凸最適化問題という。 以上は数学的に一般化された定義であるが、この問題が実際に提示される場面において X ⊆ R 2 {\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq \mathbb {R^{2}} } は具体的な形で表現されることが多い。よくある例として、与えられた凸関数 g i ( x ) : i = 1 , … , m {\displaystyle g_{i}(x):i=1,\dots ,m} を用いて以下のように連立不等式をみたす集合として定義される： X := { x ∈ R n : g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , … , m } {\displaystyle {\mathcal {X}}:=\{x\in \mathbb {R^{n}} :g_{i}(x)\leq 0,i=1,\dots ,m\}} こういった事情を踏まえて以下のような定義が与えられることもある： minimize f ( x ) s u b j e c t t o g i ( x ) ≤ 0 , i = 1 , … , m {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {minimize} &&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\end{aligned}}} ここで、関数 f , g 1 … g m : R n → R {\displaystyle f,g_{1}\ldots g_{m}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } は凸である。
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