再帰性の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 07:33 UTC 版)
「ポアンカレの回帰定理」の記事における「再帰性の証明」の解説
測度が0となる零集合 N を除いて、 A の点 ω が A に再帰することを示す。B⊂A が μ(B)>0 であるとする。もし任意の ω∈Bがすべての n>0 について、Tnω∉A であるとすると、TnB∩B=∅ である。任意の m≥0 でTn+mB∩TmB=∅ であるから、 {Tn B} は互いに交わらない可算無限列である。よって、測度の完全加法性より μ ( ⋃ n = 0 ∞ T n B ) = ∑ n = 0 ∞ μ ( T n B ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=0}^{\infty }T^{n}B\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (T^{n}B)} である。一方、 ⋃ n = 0 ∞ T n B ⊂ Ω ∈ F {\displaystyle \bigcup _{n=0}^{\infty }T^{n}B\subset \Omega \in {\mathfrak {F}}} より、前式の両辺は有限であるが、保測性と μ(B)>0 の仮定により、右辺は有限性に矛盾する。ゆえに測度が0となるN⊂Aを除いたω∈A \ Nに対し、ある n>0 が存在し、Tnω∈A となる。
※この「再帰性の証明」の解説は、「ポアンカレの回帰定理」の解説の一部です。
「再帰性の証明」を含む「ポアンカレの回帰定理」の記事については、「ポアンカレの回帰定理」の概要を参照ください。
ウィキペディア小見出し辞書の「再帰性の証明」の項目はプログラムで機械的に意味や本文を生成しているため、不適切な項目が含まれていることもあります。ご了承くださいませ。
お問い合わせ。
- 再帰性の証明のページへのリンク
