共役体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
K を n 次の代数体とし、 K = Q ( θ ) {\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )} とする。θ の共役数 θ ( 1 ) , … , θ ( n ) {\displaystyle \theta ^{(1)},\ldots ,\ \theta ^{(n)}} に対して、 K ( i ) = Q ( θ ( i ) ) {\displaystyle K^{(i)}=\mathbb {Q} (\theta ^{(i)})} ( i = 1 , … , n {\displaystyle i=1,\ldots ,\ n} ) を、K の共役体 (conjugate field)という。もし K の共役体が全て K と等しいとき、K はガロア体 (Galois field)または有理数体上のガロア拡大体という。 共役体 K ( i ) {\displaystyle K^{(i)}} が実数の部分体すなわち θ ( i ) {\displaystyle \theta ^{(i)}} が実数であるとき、 K ( i ) {\displaystyle K^{(i)}} を実共役体 (real conjugate field)という。そうでない場合、虚共役体 (imaginary conjugate field)という。 K の共役体のうち、実共役体の個数を r 1 {\displaystyle r_{1}} 、虚共役体の個数を r 2 {\displaystyle r_{2}} とすると、 n = r 1 + r 2 {\displaystyle n=r_{1}+r_{2}} であり、 r 2 {\displaystyle r_{2}} は偶数である。 K の全ての共役体が実共役体であるとき、K を総実体 (totally real field) または総実代数体という。また、全ての共役体が虚共役体であるとき、K を総虚体 (totally imaginary field) または総虚代数体という。
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