像と核
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/21 14:08 UTC 版)
準同型 h: G → H の核 ker(h) を、h によって H の単位元にうつる G の元全体の集合 ker ( h ) := { u ∈ G : h ( u ) = e H } {\displaystyle \ker(h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}} と定義し、また準同型 h: G → H の像を im ( h ) := { h ( u ) : u ∈ G } {\displaystyle \operatorname {im} (h):=\{h(u):u\in G\}} で定義する。核は G の正規部分群である（実際、u ∈ ker(h) とすれば、任意の g ∈ G に対し h ( g − 1 u g ) = h ( g ) − 1 h ( u ) h ( g ) = h ( g ) − 1 e H h ( g ) = h ( g ) − 1 h ( g ) = e H {\displaystyle h(g^{-1}ug)=h(g)^{-1}h(u)h(g)=h(g)^{-1}e_{H}h(g)=h(g)^{-1}h(g)=e_{H}} が成立するから、 g − 1 ker ( h ) g = ker ( h ) {\textstyle g^{-1}\ker(h)g=\ker(h)} はすぐにわかる）。また、像は H の部分群である。準同型 h が単射（しばしば 群単準同型 (group monomorphism) と呼ばれる）になることと ker(h) = {eG} となることとは同値である。 準同型の核と像は、その準同型がどのくらい同型に近いかを測るものと解釈することができる。第一同型定理によれば、準同型 h: G → H の像 im h は、余像と呼ばれる商群 G/ker h に同型である。
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