次元 (ベクトル空間)とは？わかりやすく解説

数学における、ベクトル空間の次元（じげん、英: dimension）とは、その基底の濃度、すなわち基底に属するベクトルの個数である。他の種類の次元（たとえばヒルベルト次元）との区別のため、ハメル次元または代数次元と呼ばれることもある。この定義は「任意のベクトル空間は（選択公理を仮定すれば）基底を持つ」ことと「一つのベクトル空間の基底は、どの二つも必ず同じ濃度を持つ」という二つの事実に依存しており、これらの事実の結果として、ベクトル空間の次元は空間に対して一意的に定まる。体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ の次元を $dim F (V)$ あるいは $[V : F]$ で表す（文脈から基礎とする体 $F$ が明らかならば単に $dim(V)$ と書く）。

ベクトル空間 $V$ が有限次元であるとは、その次元が有限値であるときにいう。

例

ベクトル空間 $R 3$ は

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

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次元 (ベクトル空間)

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