他の生成法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/07/17 21:18 UTC 版)
群の準同型 { 1 , − 1 , × } ↦ { 0 , 1 , ⊕ } {\displaystyle \{1,-1,\times \}\mapsto \{0,1,\oplus \}} によるアダマール行列の要素に対する写像を用いると、シルベスターによるアダマール行列を別の方法で生成することができる。まず、nビットの整数を列であるとみなし、これを昇順に並べた n × 2 n {\displaystyle n\times 2^{n}} 行列 F n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}} を考える。このとき、 F n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}} は次のように再帰的に定義できる。 F 1 = [ 0 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1}={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}} F n = [ 0 1 × 2 n − 1 1 1 × 2 n − 1 F n − 1 F n − 1 ] {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}={\begin{bmatrix}0_{1\times 2^{n-1}}&1_{1\times 2^{n-1}}\\{\boldsymbol {F}}_{n-1}&{\boldsymbol {F}}_{n-1}\end{bmatrix}}} 帰納法により、上記の準同型写像によるアダマール行列の像は以下のようになる。 H 2 n = F n ⊺ F n . {\displaystyle {\boldsymbol {H}}_{2^{n}}={\boldsymbol {F}}_{n}^{\intercal }{\boldsymbol {F}}_{n}.} この生成法からわかることとして、アダマール行列 H 2 n {\displaystyle {\boldsymbol {H}}_{2^{n}}} の各行が行列 F n {\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{n}} によって生成される長さ2n、ランクn、最小距離 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} の線形誤り訂正符号となっている。この符号は、ウォルシュ符号とも呼ばれる。なお、アダマール符号もアダマール行列から生成されるが、若干異なる手順であるためウォルシュ符号とは異なる点に注意が必要である。 MATLABではhadamard(n)で n × n {\displaystyle n\times n} のアダマール行列を生成できる
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