交代テンソル積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/04 03:13 UTC 版)
「外積代数#交代テンソル代数」も参照 単純テンソル T をテンソル積 T = v 1 ⊗ v 2 ⊗ ⋯ ⊗ v r {\displaystyle T=v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{r}} として書くとき、T の交代成分はその因子ベクトルの交代積（楔積）あるいは外積 v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v r := 1 r ! ∑ σ ∈ S r sgn ( σ ) v σ 1 ⊗ v σ 2 ⊗ ⋯ ⊗ v σ r {\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{r}:={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}\operatorname {sgn} (\sigma )v_{\sigma 1}\otimes v_{\sigma 2}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma r}} と呼ばれる。一般に、交代テンソル空間 Alt(V) に反対称かつ結合的な積 "∧" を入れて多元環にすることができる。二つのテンソル T1 ∈ Altk1(V), T2 ∈ Altk2(V) が与えられたとき、交代化作用素を用いて T 1 ∧ T 2 = Alt ( T 1 ⊗ T 2 ) ( ∈ Alt k 1 + k 2 ( V ) ) {\displaystyle T_{1}\wedge T_{2}=\operatorname {Alt} (T_{1}\otimes T_{2})\quad \left(\in \operatorname {Alt} ^{k_{1}+k_{2}}(V)\right)} と定義すれば、これが実際に反対称かつ結合的であることが確かめられる。
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