二重双対空間への単射
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:38 UTC 版)
「双対ベクトル空間」の記事における「二重双対空間への単射」の解説
ベクトル空間 V からその二重双対 V** への標準的な（自然な）線型準同型 Ψ が ( Ψ ( v ) ) ( ϕ ) := ϕ ( v ) , ( v ∈ V , ϕ ∈ V ∗ ) {\displaystyle (\Psi (v))(\phi ):=\phi (v),\quad (v\in V,\,\phi \in V^{*})} と置くことにより定まる。この写像 Ψ 必ず単射になる。これが同型となるのは V が有限次元のとき、かつそのときに限る。実際、ベクトル空間とその二重双対との間の、この同型写像は自然同型の原型的な例となっている。無限次元のヒルベルト空間は、代数的な二重双対ではなく、連続的な二重双対に同型なので、この反例にはならない。
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