二重双対加群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/02 02:36 UTC 版)
R-加群Mの双対(R-)加群M*のさらに双対である、 M ∗ ∗ = H o m R ( M ∗ , R ) {\displaystyle M^{**}={\mathrm {Hom} }_{R}(M^{*},R)} のことをMの二重双対加群（にじゅうそうついかぐん、英: duble dual module）という。これは、「加群準同型の全体へと制限された写像空間 M*⊂ RM」からRへの加群準同型全体のなす集合（に値ごとの演算でR-加群の構造を入れたもの）だから、 M**の元は、加群準同型 f : M → R {\displaystyle f:M\to R} になにかしらの元 a ∈ R {\displaystyle a\in R} を対応させた写像で ϕ : M ∗ ∋ f ↦ a ∈ R {\displaystyle \phi :M^{*}\ni f\mapsto a\in R} という形をしている。そこで各 r ∈ R {\displaystyle r\in R} に対し、 ϕ r : M ∗ ∋ f ↦ f ( r ) ∈ R {\displaystyle \phi _{r}:M^{*}\ni f\mapsto f(r)\in R} という写像を考えると、これはM*からRへの加群準同型になるので、 ∀ r ∈ R : ϕ r ∈ M ∗ ∗ {\displaystyle \forall r\in R:\phi _{r}\in M^{**}} 。 これに基づいて、写像 χ : M → M ∗ ∗ {\displaystyle \chi :M\to M^{**}} を χ ( r ) = d e f ϕ r {\displaystyle \chi (r)\quad {\underset {\mathrm {def} }{=}}\quad \phi _{r}} と定めたとき、 χ {\displaystyle \chi } もまた加群準同型となり、その直観的にも圏論的にも自然な様から R-加群MからM**への正準写像（英: canonical map, en: Canonical map）あるいは自然な写像（英: natural map ）と呼ばれる。
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