三変数および更に多変数の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/02 23:12 UTC 版)
「一次方程式」の記事における「三変数および更に多変数の場合」の解説
詳細は「超平面」を参照 三変数の場合 a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d} はユークリッド空間 R3 における平面（空間平面）を表す。これは、ベクトル n := (a, b, c) に直交し、平面上の一点 x0 が与えられれば n ⋅ ( x − x 0 ) = 0 {\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0} なる形に書きなおせる（平面の場合の「点・傾き標準形」の一般化）。ただし、左辺はベクトルの点乗積である。このベクトル方程式は一般の n-次元で考えれば、Rn 内の超平面（余次元 1 のアフィン部分空間）を表す。すなわち n-変数の一次方程式 a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b {\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b} は超平面の方程式である。一次形式 L : ( x 1 , … , x n ) ↦ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n {\displaystyle L\colon (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}} は線型汎函数で、「点・傾き標準形」は { ( x 1 , … , x n ) ∣ a 1 x 1 + ⋯ + a n x n = b } = x 0 + ker L {\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\}=x_{0}+\ker L} の形に書くこともできる。
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