ルンゲ現象

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ルンゲ現象

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/27 20:42 UTC 版)

赤はコーシー・ローレンツ関数。青は5次の補間多項式。緑は9次の補間多項式（補間点は等間隔）。 補間点では関数と補間多項式は誤差が（定義上）ゼロである。補間点と補間点の間（特に 1 や −1 に近い部分）では、補間多項式を高次にした方が誤差が大きくなっている。

ルンゲ現象（ルンゲげんしょう、英語: Runge's phenomenon）は、（与えられた分点集合上で）関数を高次の多項式を用いて多項式補間を行なう際に発生しがちな問題である。カール・ルンゲが、ある関数を多項式補間で近似したときの誤差を調べていて発見した。 補間点の集合を適切に選ぶことにより困難を回避できるが、良く用いられる等間隔の分点を選ぶと問題が発生し易い。 計算に用いる数値の精度に制限があるという理由でこの現象が生じるのではない。

問題

次の関数（コーシー-ローレンツ関数）を考える。

$f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}$