ラックス＝ミルグラムの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/20 02:41 UTC 版)
「弱形式」の記事における「ラックス＝ミルグラムの定理」の解説
これは双線型形式の対称部分の性質に依存するラックス＝ミルグラムの定理（Lax-Milgram theorem）の構成である。最も一般的な形という訳ではない。 V {\displaystyle V} をヒルベルト空間とし、 a ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle a(\cdot ,\cdot )} を V {\displaystyle V} 上の双線型形式で、次を満たすものとする： 有界： | a ( u , v ) | ≤ C ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|} 強圧的： a ( u , u ) ≥ c ‖ u ‖ 2 . {\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}.} このとき、任意の f ∈ V ′ {\displaystyle f\in V'} に対して、次の方程式には唯一つの解 u ∈ V {\displaystyle u\in V} が存在する。 a ( u , v ) = f ( v ) . {\displaystyle a(u,v)=f(v).} また次が成立する。 ‖ u ‖ ≤ 1 c ‖ f ‖ V ′ . {\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}.}
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