ベン・イスラエル(Ben-Israel)とコーエン(Cohen)の反復法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/11 04:02 UTC 版)
「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「ベン・イスラエル(Ben-Israel)とコーエン(Cohen)の反復法」の解説
他に、再帰を用いて擬似逆行列を計算する方法（ドラジン逆行列を参照）がある。 A i + 1 = 2 A i − A i A A i {\displaystyle A_{i+1}=2A_{i}-A_{i}AA_{i}} これは、超べき列(hyper-power sequence)と呼ばれることもある。この再帰は、適切な A 0 {\displaystyle A_{0}} から始まり、 A 0 A = ( A 0 A ) ∗ {\displaystyle A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*}} を満足する場合、 A {\displaystyle A} の擬似逆行列に2次的に収束する列を生成する。 A 0 = α A ∗ {\displaystyle A_{0}=\alpha A^{*}} という選び方（ここで 0 < α < 2 / σ 1 2 ( A ) {\displaystyle 0<\alpha <2/\sigma _{1}^{2}(A)} であり、 σ 1 ( A ) {\displaystyle \sigma _{1}(A)} は A {\displaystyle A} の最大の特異値を示す）は、上記のSVDを使用する方法と競合しないと主張されている。これは、適度に悪条件の行列であっても、 A i {\displaystyle A_{i}} が二次収束の領域に入る前に長い時間がかかるためである。ただし、 A 0 {\displaystyle A_{0}} がすでにムーア・ペンローズ逆行列に近く、 A 0 A = ( A 0 A ) ∗ {\displaystyle A_{0}A=\left(A_{0}A\right)^{*}} ならば、 例えば A 0 := ( A ∗ A + δ I ) − 1 A ∗ {\displaystyle A_{0}:=\left(A^{*}A+\delta I\right)^{-1}A^{*}} ならば、収束は高速である（二次）。
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