ブロッホの定理・周期的境界条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/01 01:09 UTC 版)
「クローニッヒ・ペニーのモデル」の記事における「ブロッホの定理・周期的境界条件」の解説
ポテンシャルが周期的な場合、ブロッホの定理よりシュレーディンガー方程式の固有関数は次を満たさなければならない。 ψ ( x ) = e i k x u ( x ) {\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x)} ここでu(x)は、u(x + a) = u(x)を満たす周期関数である。数学において k {\displaystyle k} はフロケ指数と呼ばれる。 格子の両端付近では、境界条件が問題となる。ここでボルン=フォン・カルマン境界条件を課す。 ψ ( 0 ) = ψ ( L ) {\displaystyle \psi (0)=\psi (L)} ただし格子の長さLはL ≫ aであるとする。格子中のイオン(つまりポテンシャル井戸)の数をNとすると、aN = Lである。 ブロッホの定理を適用すると、kが量子化される。 ψ ( 0 ) = e i k ⋅ 0 u ( 0 ) = e i k L u ( L ) = ψ ( L ) {\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)} ⇒ u ( 0 ) = e i k L u ( L ) = e i k L u ( N a ) {\displaystyle \Rightarrow u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)} ⇒ e i k L = 1 {\displaystyle \Rightarrow e^{ikL}=1} ⇒ k L = 2 π n {\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n} ⇒ k = 2 π L n ( n = 0 , ± 1 , … , ± N 2 ) {\displaystyle \Rightarrow k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {N \over 2}\right)}
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