ツイステッドエドワーズ曲線との同等性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 09:53 UTC 版)
「Montgomery curve」の記事における「ツイステッドエドワーズ曲線との同等性」の解説
K {\displaystyle K} を、標数が2ではない体とする。 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} を M A , B : B v 2 = u 3 + A u 2 + u {\displaystyle M_{A,B}:Bv^{2}=u^{3}+Au^{2}+u} で表されるモンゴメリ形式の楕円曲線とする。ただし、 A ∈ K ∖ { − 2 , 2 } {\displaystyle A\in K\setminus \{-2,2\}} 、 B ∈ K ∖ { 0 } {\displaystyle B\in K\setminus \{0\}} 。また、 E a , d {\displaystyle E_{a,d}} を E a , d : a x 2 + y 2 = 1 + d x 2 y 2 , {\displaystyle E_{a,d}\ :\ ax^{2}+y^{2}=1+dx^{2}y^{2},\,} で表されるエドワーズ形式の楕円曲線とする。ただし、 a , d ∈ K ∖ { 0 } , a ≠ d . {\displaystyle a,d\in K\setminus \{0\},\quad a\neq d.} 。 次の定理は、モンゴメリ曲線とツイステッドエドワーズ曲線との双有理同値性を示している 。 定理（i）ツイステッドエドワーズ曲線は、 K {\displaystyle K} 上のモンゴメリ曲線と双有理同値である。特に、ツイステッドエドワーズ曲線 E a , d {\displaystyle E_{a,d}} は、 A = 2 ( a + d ) a − d {\displaystyle A={\frac {2(a+d)}{a-d}}} 、 B = 4 a − d {\displaystyle B={\frac {4}{a-d}}} を満たすモンゴメリ曲線 M A , B {\displaystyle M_{A,B}} と双有理的同値である。 写像 ψ : E a , d → M A , B {\displaystyle \psi \,:\,E_{a,d}\rightarrow M_{A,B}} ( x , y ) ↦ ( u , v ) = ( 1 + y 1 − y , 1 + y ( 1 − y ) x ) {\displaystyle (x,y)\mapsto (u,v)=\left({\frac {1+y}{1-y}},{\frac {1+y}{(1-y)x}}\right)} は、 E a , d {\displaystyle E_{a,d}} から M A , B {\displaystyle M_{A,B}} への双有理同値であり、逆写像： ψ − 1 {\displaystyle \psi ^{-1}} ： M A , B → E a , d {\displaystyle M_{A,B}\rightarrow E_{a,d}} は ( u , v ) ↦ ( x , y ) = ( u v , u − 1 u + 1 ) , a = A + 2 B , d = A − 2 B {\displaystyle (u,v)\mapsto (x,y)=\left({\frac {u}{v}},{\frac {u-1}{u+1}}\right),a={\frac {A+2}{B}},d={\frac {A-2}{B}}} で与えられる。 2つの曲線間のこの同値性は、任意の場所で有効であるわけではないないことに注意。例えば、写像 ψ {\displaystyle \psi } は、 v = 0 {\displaystyle v=0} や u + 1 = 0 {\displaystyle u+1=0} である M A , B {\displaystyle M_{A,B}} 上の点では定義されていない。
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