スター作用素のインデックス記法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/12 02:33 UTC 版)
「ホッジ双対」の記事における「スター作用素のインデックス記法」の解説
インデックス記法を使うと、ホッジ双対は、n-次元完全反対称レヴィ・チヴィタテンソル(Levi-Civita tensor)と k-形式の添字の縮約により得られる。これはレヴィ・チヴィタの記号から|det g|1/2 だけずれている。ここでg を内積（計量テンソル）とした。ここで行列式は、たとえばローレンツ多様体の接空間のようにg が正定値でない場合もあるので絶対値をとる必要がある。 このように、 ( ⋆ η ) i 1 , i 2 , … , i n − k = 1 ( k ) ! η j 1 , … , j k | det g | ϵ j 1 , … , j k , i 1 , … , i n − k {\displaystyle (\star \eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{(k)!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\,{\sqrt {|\det g|}}\,\epsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}}} と書く。ここに η は k の任意の反対称テンソルである。レヴィ・チヴィタテンソル同じ内積 g を使い、レヴィ・チヴィタテンソルの定義と同様に、インデックスを上げたり下げたりする（英語版）(indices are raised and lowered)。任意のテンソルを同じように表示できるが、結果は反対象である。これはテンソルの対象な成分が完全反対称レヴィ・チヴィタ記号との縮約により消去されるからである。
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