リー環のコホモロジーとは？わかりやすく解説

数学において、リー環のコホモロジー（英: Lie algebra cohomology）とは、リー環に対するコホモロジー論である。それは Chevalley and Eilenberg (1948) によって、コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために、定義された。上の論文では、コシュール複体（英語版）と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され、そのコホモロジーが普通の意味で取られる。

動機付け

$G$ がコンパクト単連結リー群のとき、 $G$ はそのリー環によって決定され、したがってそのコホモロジーはリー環から計算できるはずである。これは次のようにしてできる。そのコホモロジーは $G$ 上の微分形式の複体のド・ラームコホモロジーである。これは同変微分形式（英語版）の複体に置き換えることができ、それは今度は適切な微分でリー環の外積代数と同一視できる。外積代数のこの微分の構成は任意のリー環に対して意味をなし、したがってすべてのリー環に対してリー環のコホモロジーを定義するのに使われる。より一般に加群に係数を持つリー環のコホモロジーを定義するために類似の構成を用いる。

定義

${\mathfrak {g}}$ を可換環 $R$ 上のリー環、 $U{\mathfrak {g}}$ をその普遍包絡環とし、 $M$ を ${\mathfrak {g}}$ の表現とする（同じことだが $U{\mathfrak {g}}$ -加群とする）。 $R$ を ${\mathfrak {g}}$ の自明表現と考え、コホモロジー群

\mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)

を定義する（ $Ext$ の定義は Ext関手を参照）。同じことだが、これらは左完全不変部分加群関手

M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}

の右導来関手である。

同様に、リー環のホモロジーを

\mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)

と定義でき（ $Tor$ の定義は Tor関手を参照）、これは右完全余不変（英語版）関手

M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.

の左導来関手と同値である。

リー環のコホモロジーについての重要な基本的な結果の中にはホワイトヘッドの補題（英語版）、ワイルの完全可約性定理（英語版）、レヴィ分解（英語版）定理がある。

シュバレー・アイレンバーグ複体

体 $k$ 上のLie環 ${\mathfrak {g}}$ の左 ${\mathfrak {g}}$ -加群 $M$ に値を持つリー環コホモロジーはシュバレー・アイレンバーグ複体 $\mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\ast }{\mathfrak {g}},M)$ を用いて計算できる。この複体の $n$ -コチェインは $M$ に値を持つ $n$ 変数の交代 $k$ -多重線型関数 $f:\Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M$ である。 $n$ コチェインのコバウンダリは次で与えられる $(n + 1)$ -コチェイン $δf$ である^[1]：