ケルビンの渦定理の証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/10/02 04:15 UTC 版)
「ケルビンの渦定理」の記事における「ケルビンの渦定理の証明」の解説
保存外力のもとでの非粘性バロトロピック流体の支配方程式はオイラー方程式 (流体力学) D v D t = − ∇ ∫ d p ρ − ∇ Ω {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }-\nabla \Omega } で表される。ここで、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 p {\displaystyle p} は圧力、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャルを表す。なお、バロトロピック性( ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} )より − 1 ρ ∇ p = − ∇ ∫ d p ρ {\displaystyle -{1 \over \rho }\nabla p=-\nabla \int {\mathrm {d} p \over \rho }} となることを用いた。 循環の定義式の物質微分をとると D Γ D t = ∮ C ( t ) D v D t ⋅ d l + ∮ C ( t ) v ⋅ D d l D t {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\it {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C(t)}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}+\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}{\mathrm {D} t}}} となる。第1項に支配方程式を代入すると、 ∮ C ( t ) D v D t ⋅ d l = − ∮ C ( t ) ∇ ( ∫ d p ρ + Ω ) ⋅ d l = − [ ∫ d p ρ + Ω ] C ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C(t)}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}&=-\oint _{C(t)}\nabla \left(\int {\mathrm {d} p \over \rho }+\Omega \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\\&=-\left[\int {\mathrm {d} p \over \rho }+\Omega \right]_{C(t)}\end{aligned}}} また、第2項は ∮ C ( t ) v ⋅ D d l D t = ∮ C ( t ) v ⋅ d v = ∮ C ( t ) d ( | v | 2 2 ) = [ | v | 2 2 ] C ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}{\mathrm {D} t}}&=\oint _{C(t)}{\boldsymbol {v}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {v}}\\&=\oint _{C(t)}\mathrm {d} \left({|{\boldsymbol {v}}|^{2} \over 2}\right)\\&=\left[{|{\boldsymbol {v}}|^{2} \over 2}\right]_{C(t)}\end{aligned}}} となるので、 D Γ D t = [ | v | 2 2 − ∫ d p ρ − Ω ] C ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} {\it {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}&=\left[{|{\boldsymbol {v}}|^{2} \over 2}-\int {\mathrm {d} p \over \rho }-\Omega \right]_{C(t)}\end{aligned}}} となる。ただし、 [ f ] C {\displaystyle [f]_{C}} は閉曲線 C {\displaystyle C} を一周したときの f {\displaystyle f} の差を表す。また、 D d l D t | r = D r ′ D t − D r D t ( r ′ − r = d l | r ) = v ( r ′ ) − v ( r ) = d v | r {\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}}{\mathrm {D} t}}\right|_{\boldsymbol {r}}&={\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {r}}'}{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {D} t}}&({\boldsymbol {r}}'-{\boldsymbol {r}}=\left.\mathrm {d} {\boldsymbol {l}}\right|_{\boldsymbol {r}})\\&={\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}}')-{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {r}})\\&=\left.\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}\right|_{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}} であることを用いた。 速度、圧力、密度、ポテンシャルは座標の連続一価関数であるので、 D Γ D t = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\it {\Gamma }}}{\mathrm {D} t}}=0} が証明された。
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