グラハム数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 16:24 UTC 版)
「コンウェイのチェーン表記」の記事における「グラハム数」の解説
グラハム数 G {\displaystyle G} それ自体を、コンウェイのチェーン表記を用いて簡潔に表す事は出来ない。しかし、仲介させる関数を g ( n ) = 3 → 3 → n = 3 ↑↑ ⋯ ↑ ⏟ 3 n 本 の 矢 印 {\displaystyle g(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n={\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } 3\\{\text{n 本 の 矢 印}}\end{matrix}}} と定義することで G = g 64 ( 4 ) {\displaystyle G=g^{64}(4)} と表記できる。(写像の冪を参照。)又、 3 → 3 → 64 → 2 < G < 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} である。 証明: 定義の"反復合成を用いた規則"を適用させると、次の様になる。: g 64 ( 1 ) {\displaystyle g^{64}(1)} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 1 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\cdots ))} (64組の " 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} ") = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 ) → 1 ) ⋯ ) → 1 ) → 1 {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\cdots )\rightarrow 1)\rightarrow 1} = 3 → 3 → 64 → 2 ; {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;} = 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 本 3 ↑ 3 本 } 64層 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3{\text{本}}\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3{\text{本}}\\&3\uparrow 3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}{\text{64層 }}} g 64 ( 4 ) = G ; {\displaystyle g^{64}(4)=G;} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 4 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\cdots ))} (64組の " 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} ") = 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 本 3 ↑↑↑↑ 3 本 } 64層 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3{\text{本}}\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3{\text{本}}\\&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}{\text{64層 }}} g 64 ( 27 ) {\displaystyle g^{64}(27)} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → 27 ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\cdots ))} (64組の " 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} ") = 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( ⋯ ( 3 → 3 → ( 3 → 3 → ( 3 → 3 ) ) ) ⋯ ) ) {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\cdots ))} (65組の " 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3} ") = 3 → 3 → 65 → 2 {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2} (上記のように計算する) = g 65 ( 1 ) {\displaystyle =g^{65}(1)} = 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 本 3 ↑ 3 本 } 65層 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3{\text{本}}\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3{\text{本}}\\&3\uparrow 3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}{\text{65層 }}} g は単調増加なので、 g 64 ( 1 ) < g 64 ( 4 ) < g 64 ( 27 ) {\displaystyle g^{64}(1)<g^{64}(4)<g^{64}(27)} コンウェイのチェーン表記を用いれば上記の数よりも非常に大きい数を表記する事は、とても容易い。次にその例を記す。 3 → 3 → 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3} = 3 → 3 → ( 3 → 3 → 27 → 2 ) → 2 {\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,} = g 3 → 3 → 27 → 2 ( 1 ) {\displaystyle =g^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)} = g g 27 ( 1 ) ( 1 ) {\displaystyle =g^{g^{27}(1)}(1)} = 3 ↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ⋅ ↑↑↑ ⏟ 3 3 ↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑↑↑ ⏟ 3 本 3 ↑↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑↑↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑↑ ⋯ ⋅ ↑↑↑ ⏟ 3 ↑ 3 本 3 本 } 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 層 3 ↑↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 本 ⋮ ⏟ 3 ↑↑ ⋯ ⋅ ↑ ⏟ 3 ↑ 3 本 3 本 } 3 ↑ 3 = 27 層 {\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \uparrow \uparrow \uparrow } _{}3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow \uparrow \uparrow } _{}3{\text{本}}\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow \uparrow \uparrow } _{}3{\text{本}}\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow \uparrow \uparrow } _{3\uparrow 3{\text{本}}}3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3{\text{層 }}\\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3{\text{本}}\\\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } _{3\uparrow 3{\text{本}}}3{\text{本}}\end{matrix}}\right\}\ 3\uparrow 3=27{\text{層 }}} 数 3 → 3 → 27 → 2 = g 27 ( 1 ) {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2=g^{27}(1)} は65よりもはるかに大きいので、 3 → 3 → 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3} はグラハム数よりはるかに大きい。さらに末尾の数字を増やしたりチェーンを伸ばしたりすることで極めて巨大な数を表記可能である。 3 → 3 → 3 → 3 {\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3} はコンウェイのテトラトリと呼ばれる。
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