小グラハム数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/04 13:50 UTC 版)
グラハムとロートシルトは1971年に、より小さい上限として小グラハム数 (Little Graham) を示した。この数は関数 F(n) を F ( n ) = 2 ↑ n 3 = 2 ↑ ⋯ ↑ ⏟ n 3 = 2 → 3 → n {\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3=2\underbrace {\uparrow \cdots \uparrow } _{n}3=2\rightarrow 3\rightarrow n} と定義したときの F := F 7 ( 12 ) = F ( F ( F ( F ( F ( F ( F ( 12 ) ) ) ) ) ) ) = 2 → 3 → ( 2 → 3 → ( 2 → 3 → ( 2 → 3 → ( 2 → 3 → ( 2 → 3 → ( 2 → 3 → 12 ) ) ) ) ) ) = 2 ↑ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 2 ↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 ⋮ ⏟ 2 ↑ ⋯ ⋯ ⋯ ↑ ⏟ 3 2 ↑ 12 3 } 7 layers = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 12 3 3 3 3 3 3 3 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑ 3 3 3 3 3 3 3 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 → 3 → 12 3 3 3 3 3 3 = 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ 2 ↑ hyper ( 2 , 14 , 3 ) 3 3 3 3 3 3 {\displaystyle {\begin{aligned}F&:=F^{7}(12)=F\left(F\left(F\left(F\left(F\left(F\left(F(12)\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\&=2\rightarrow 3\rightarrow \left(2\rightarrow 3\rightarrow \left(2\rightarrow 3\rightarrow \left(2\rightarrow 3\rightarrow \left(2\rightarrow 3\rightarrow \left(2\rightarrow 3\rightarrow \left(2\rightarrow 3\rightarrow 12\right)\right)\right)\right)\right)\right)\\&=\left.{\begin{matrix}2\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\2\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\2\underbrace {\uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\2\uparrow ^{12}3\end{matrix}}\right\}7{\text{ layers}}=2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{12}3}3}3}3}3}3}3=2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}3}3}3}3}3}3\\&=2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\rightarrow 3\rightarrow 12}3}3}3}3}3}3\\&=2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{2\uparrow ^{\operatorname {hyper} ({2,14,3})}3}3}3}3}3}3\end{aligned}}} である。これはグラハム数よりは遥かに小さいが、それでもなお非常に大きい数である。
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