アーベル群のランク

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アーベル群のランク

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/02 03:21 UTC 版)

数学において、アーベル群 A のランク (rank)、階数、プリューファーランク (Prüfer rank)、あるいは捩れなしランク (torsion-free rank) は極大線型独立部分集合の濃度である。A のランクは A に含まれる最大の自由アーベル群のサイズを決定する。A が捩れなしであれば次元がランク A の有理数体上のベクトル空間に埋め込まれる。有限生成アーベル群に対して、ランクは強い不変量でありすべてのそのような群はそのランクと捩れ部分群によって同型を除いて決定される。ランク1の捩れなしアーベル群（英語版）は完全に分類されている。しかしながら、より高いランクのアーベル群の理論はより難解である。

用語ランクは基本アーベル群の文脈では異なる意味を持つ。

定義

アーベル群の部分集合 {a_α} が（Z 上）線型独立 (linearly independent) であるとは、これらの元の線型結合で0になるのは自明なものしかないということである。つまり、

${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }a_{\alpha }=0,\quad n_{\alpha }\in \mathbb {Z} ,}$

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• Page 46 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co., ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001