はじめに：ワイル代数上の加群
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/27 01:25 UTC 版)
「D-加群」の記事における「はじめに：ワイル代数上の加群」の解説
代数的 D-加群の第一の例は、標数 0 の体 K 上のワイル代数 An(K) 上の加群である。この例は、次のような変数の多項式からなる代数である。 x1, ..., xn, ∂1, ..., ∂n. ここに、すべての変数 xi と ∂j は互いに可換であり、交換子は、 [∂i, xi] = ∂ixi − xi∂i = 1. である。任意の多項式 f(x1, ..., xn) に対し、このことは関係式 [∂i, f] = ∂f / ∂xi, を意味するので、ワイル代数を微分方程式へ関連付けることができる。 （代数的） D-加群は、定義により、環 An(K) 上の左加群である。D-加群の例は、ワイル代数自身（左からの乗算により自分自身へ作用する）、及び可換な多項式環 K[x1, ..., xn] を含んでいる。ここに、xi は乗算によって作用し、∂j は xj に関して偏微分として作用する。そしてこれと似たものとして、Cn 上の正則函数の環 O ( C n ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})} （n 個の複素変数の関数からなる空間）がある。 x を複素変数、ai(x) を多項式として、微分作用素 P = an(x) ∂n + ... + a1(x) ∂1 + a0(x), が与えられると、商加群 M = A1(C)/A1(C)P は微分方程式 P f = 0, の解の空間と密接に関係する。ここに f は、いわば、C の正則函数である。この方程式の解からなるベクトル空間は、D-加群の準同型の空間 H o m ( M , O ( C ) ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))} により与えられる。
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