すべての p ≥ 1 に対して Lp,loc は完備距離空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/30 23:39 UTC 版)
「局所可積分函数」の記事における「すべての p ≥ 1 に対して Lp,loc は完備距離空間」の解説
定理 1 Lp,loc は完備距離化可能空間である。すなわち、その位相は次の計量によって生成される： d ( u , v ) = ∑ k ≥ 1 1 2 k ‖ u − v ‖ p , ω k 1 + ‖ u − v ‖ p , ω k u , v ∈ L p , l o c ( Ω ) . {\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).} ここで {ωk}k≥1 は、次の性質を満たす空でない開集合の族である。 ωk ⊂⊂ ωk+1。すなわち ωk は ωk+1 に厳密に含まれている。このことは、コンパクトな閉包を持つ集合が高次の集合に厳密に含まれていることを意味する。 ∪kωk = Ω. ‖ ⋅ ‖ p , ω k → R + {\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}} , k ∈ ℕ は、次で定義される半ノルムの添え字付きの族である： ‖ u ‖ p , ω k = ∫ ω k | u | p d x ∀ u ∈ L p , l o c ( Ω ) . {\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).} 参考文献 (Gilbarg & Trudinger 1998, p. 147)、 (Maz'ya & Poborchi 1997, p. 5)、(Maz'ja 1985, p. 6) および (Maz'ya 2011, p. 2) において、この定理は述べられているが形式的な証明は与えられていない。より一般の結果に対する完全な証明は、(Meise & Vogt 1997, p. 40) に見られる。
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