跡 (線型代数学) 性質

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跡 (線型代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/02 14:49 UTC 版)

性質

基本性質

以下、X, Y は適当なサイズの正方行列とする。

• 行列のトレースは線型である:
  • tr(X + Y) = tr(X) + tr(Y),
  • tr(cX) = c tr(X) (c はスカラー).
• tr(XY) = tr(YX).

これらの性質はトレースを以下の意味で普遍性を持つものとして特徴づける:

• f(XY) = f(YX) を満たす線型汎函数は tr の定数倍に限る。

不変性

• 転置不変性: トレースは転置に関して不変である、即ち tr(^tX) = tr(X).
• 相似不変性: トレースは相似に関して不変である、即ち P が正則ならば、tr(P⁻¹XP) = tr(X).
• 巡回不変性: 2個以上の行列の積のトレースは巡回的に順番を変えても不変である、即ちσ が巡回置換ならば $\operatorname {tr} \left(\textstyle \prod \limits _{k}X_{\sigma (k)}\right)=\operatorname {tr} \left(\textstyle \prod \limits _{k}X_{k}\right)$.
  • σ を任意の置換とすると一般には成り立たないが、対称行列のときには tr(X₁X₂X₃) = tr(X₁X₃X₂) が成り立つ。

固有値との関係

• 実または複素正方行列 X の固有値が（代数重複度を込めて）λ₁, …, λ_n であるとき、$\operatorname {tr} X=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ が成り立つ。

これは、トレースの相似不変性と、任意の行列がジョルダン標準形に相似であること、およびジョルダン標準形の対角成分に代数重複度を込めた固有値が全て並ぶことから明らかである。またこれと対照的に、行列式は固有値の積 $\det X=\textstyle \prod \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}$ である。

同じ理由により、自然数 k に対して $\operatorname {tr} X^{k}=\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}^{k}$ が成り立つことが分かる。

その他の性質

• 行列式の場合と異なり積のトレースはトレースの積とは一致しないが、クロネッカー積（行列のテンソル積）のトレースはトレースの積に一致する: tr(X ⊗ Y) = tr(X)tr(Y).
• A が対称かつ B が反対称ならば tr(AB) = 0 である。
• 単位行列 I_n のトレースは考えている空間の次元 n である（その意味で次元の概念をトレースを用いて一般化することもできる）。同様に、冪等行列 A（つまり A² = A）のトレースは A の階数であり、また冪零行列のトレースは零である。 より一般に、行列 A の固有多項式が f(x) = (x − λ₁)^d₁…(x − λ_k)^d_k と因数分解できるならば

  tr(A) = d₁λ₁ + … + d_kλ_k.

• 任意の正方行列 A, B に対して、それらの（環論的）交換子のトレースは消える: tr([A,B]) = 0（リー環の言葉で言えば「跡写像は行列リー環 𝔤𝔩_n からスカラーへの写像である」（後述）。特に相似不変性を考慮すれば、単位行列がどんな行列の対の交換子とも相似にならないことが分かる。逆に任意のトレース零な正方行列は交換子の線型結合として書ける。さらに言えば、任意のトレース零な正方行列は対角成分が全て零の正方行列とユニタリ同値になる。
• 冪零行列の任意の冪のトレースは零である。係数体の標数が零ならば逆も成り立つ（任意の冪のトレースが零ならば冪零である）。
• エルミート行列のトレースは実である（エルミート行列の対角成分はすべて実となることによる）。
• 射影行列のトレースは行列の階数に等しい。すなわち、P_X = X(X^⊤X)⁻¹X^⊤ ならば tr(P_X) = rank(X).