等差数列

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/31 20:22 UTC 版)

総和

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40

16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

和 $2 + 5 + 8 + 11 + 14$ の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ1つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、 $2 + 14 = 16, 16 \times 5 = 80$ が求める和の2倍に等しい。

「無限算術級数」も参照

有限の^{[注釈 1]}等差数列の和を算術級数と言う。公差 $d$ の等差数列の第 $n$ 項まで $a 0, a 1, \dots, a n$ の総和は、

{\begin{aligned}S_{n}&=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}a_{k}\\&=a_{0}+a_{1}+\dotsb +a_{n}\\&=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}\\&=(n+1){\frac {2a_{0}+nd}{2}}\end{aligned}}

算術級数の公式は、算術級数 $S n$ の各項を初項 $a 0$ で書き換えたものと、末尾の項 $a n$ で書き換えたもの和から $2 S n$ を求めることで得られる：

{\begin{aligned}S_{n}&=\color {red}a_{0}\color {green}+(a_{0}+d)\color {blue}+(a_{0}+2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}+nd)\\[5pt]{}+S_{n}&=\color {red}a_{n}\color {green}+(a_{n}-d)\color {blue}+(a_{n}-2d)\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{n}-nd)\\\hline 2S_{n}&=\color {red}(a_{0}+a_{n})\color {green}+(a_{0}{\bcancel {{}+d}}+a_{n}{\bcancel {{}-d}})\color {blue}+(a_{0}{\bcancel {{}+2d}}+a_{n}{\bcancel {{}-2d}})\color {black}+\dotsb \color {magenta}+(a_{0}{\bcancel {{}+nd}}+a_{n}{\bcancel {{}-nd}})\end{aligned}}

右辺では公差 $d$ を含む項が消去されて初項と末項の和だけが残る。結局 $2 S n = (n + 1)(a 0 + a n)$ となる。両辺を $2$ で割れば

S_{n}=(n+1){\frac {a_{0}+a_{n}}{2}}

を得る。そして算術級数の平均値 $S n / n + 1$ は、明らかに $a 0 + a n / 2$ である。499年に、インド数学・天文学（英語版）古典期の数学者であり天文学者であるアーリヤバタは、Aryabhatiya（英語版） (section 2.18) でこのような方法を与えている。

注釈・出典

^ 通常の意味では無限算術級数は発散するから、その和はそもそも無意味である。
^ よく聞かれる伝承として、カール・フリードリヒ・ガウスがこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師J. G. Bütnerが生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答 (5050) を出したため、Bütner と助手のMartin Bartels（英語版））がいたく驚いた、というものである。

^ Duchet, Pierre (1995), “Hypergraphs”, in Graham, R. L.; Grötschel, M.; Lovász, L., Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2, Amsterdam: Elsevier, pp. 381-432, MR 1373663 . See in particular Section 2.5, "Helly Property", pp. 393–394.

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