圏 (数学) 関手

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圏 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/29 16:22 UTC 版)

関手

2 つの圏 C, D があったとき、

• C の対象 X に対し D の対象 F(X) を与える
• 射 f : X → Y に対し射 F(f) : F(X) → F(Y) を与える

という対応 F で射の合成や恒等射を保つものは（共変 (covariant)）関手 F とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は C から D への反変関手 (contravariant functor) とよばれる。C から D への反変関手を考えるということは C の双対圏 C^op から D への共変関手を考えるということと同じになる。

自然変換

自然変換 (natural transformation) は 2 つの関手間の関係である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の自然同型 (natural isomorphism) にて表現される。 2 つの関手 F, G に対し、F から G への自然変換が存在して η_x が C に含まれる全ての対象 x に対して同型射となるとき、この自然変換は自然同型 (naturally isomorphic) であるという。

圏の種類

• 前加法圏 / 加法圏 / アーベル圏
• 完備圏
• モノイド閉圏 / デカルト閉圏
• トポス

高次圏

圏が与えられているとき、そこからより複雑な高次圏を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

例えば、「二次元の圏」である双圏（bicategory) もしくは 2-圏 (2-category) は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(2-cell) は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの合成則においては 2 次元の「交換則」(exchange law) が成り立つ。この最も標準的な例は Cat、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の自然変換が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である—これは(狭義)モノイド圏である。

この手法を任意の自然数 n で拡張し、n-圏（n-category、n 次圏）を定義することができる。さらに順序数 ω に対する ω-category と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献としてJohn Baez: The Tale of n-categoriesが挙げられる。

空間を圏で表す

(O, ≤) が順序集合のとき、これを次のような圏 C_O と同一視することができる：obj(C_O) = O とし、p, q ∈ O = obj(C_O) について p ≤ q のとき、およびそのときに限り p から q への射がただ 1 つ存在する、として C_O における射を定める。ここで順序関係の推移律が射の合成に、反射律が恒等射に対応している。特に位相空間 X に対してその開集合系 O(X) を圏と見なすことができる。

G が群のとき、対象 Y ただ 1 つからなり、Hom (Y, Y) ≡ G であるような圏を G と同一視することができる。また、位相空間の基本亜群や「被覆」のホロノミー亜群など、様々な亜群による幾何学的な情報の定式化が得られている。

これらは様々な種類の数学的対象を圏によって言い換えていることになる。層やトポスの概念によってこれらを共通の文脈の中におくことが可能になる。