ハミルトン力学 導出

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ハミルトン力学

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/16 15:56 UTC 版)

導出

ラグランジアン $L(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)$ の全微分は

$dL=\sum _{i}{\biggl (}dq_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}+d{\dot {q}}_{i}\,{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt$

である。 一般化運動量は $p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$ で定義され、ラグランジュの運動方程式から ${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$ である。これを用いて先ほどの全微分を書き換えれば、

${\begin{aligned}dL&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}+d{\dot {q}}_{i}\,p_{i})+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\sum _{i}(dq_{i}\,{\dot {p}}_{i}-{\dot {q}}_{i}\,dp_{i}+d({\dot {q}}_{i}\,p_{i})]+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}$

となる。全微分を移項して

$d{\Bigl (}\sum _{i}{\dot {q}}_{i}\,p_{i}-L{\Bigr )}=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt$

となる。ハミルトニアン

$H(p,q,t)=\sum _{i}{\dot {q}}_{i}(p,q,t)\,p_{i}-L(q,{\dot {q}}(p,q,t),t)$

を定義すれば、

${\begin{aligned}dH&=\sum _{i}{\bigg (}{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+dq_{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\biggr )}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum _{i}({\dot {q}}_{i}\,dp_{i}-dq_{i}\,{\dot {p}}_{i})-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\end{aligned}}$

となり、

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},~{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},~{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}$

を得る。