ナブラ 定義

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ナブラ

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/29 04:08 UTC 版)

定義

座標 (x, y, z) を持つ三次元デカルト座標空間 R³ において ∇ は、偏微分作用素を項とするベクトルとして

$\nabla ={\hat {\boldsymbol {x}}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {\boldsymbol {y}}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {\boldsymbol {z}}}{\frac {\partial }{\partial z}}$

で与えられる。ただし、${\hat {\boldsymbol {x}}},{\hat {\boldsymbol {y}}},{\hat {\boldsymbol {z}}}$ はそれぞれ x, y, z 方向の単位ベクトルである。本項では三次元の場合を主に扱うが、これは n-次元ユークリッド空間 Rⁿ に対しても一般化することができて、直交座標系の座標が (x₁, x₂, …, x_n) とすれば

$\nabla =\sum _{i=1}^{n}{\hat {e}}^{i}{\partial \over \partial x_{i}}$

で与えられる。ただし、$\{{\hat {e}}^{i}:1\leq i\leq n\}$ は標準基底とする。

アインシュタインの和の規約に従って

$\nabla ={\hat {e}}^{i}\,\partial _{i}$

と書くこともできる。

他の座標系での ∇ の表示に関しては円柱および球座標系におけるナブラなどを参照。