非負行列
非負行列
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 06:59 UTC 版)
「ペロン＝フロベニウスの定理」の記事における「非負行列」の解説
ペロン＝フロベニウスの定理は各成分が非負であるような非負行列に対して拡張できる。正行列と非負行列の二つの場合の共通点と相違点をまとめる上で、次の点に注意されたい：全ての非負行列は、正行列の極限として得ることが出来る。したがって、非負の成分の固有ベクトルの存在が分かる。それに対応する固有値は、明らかに、全ての他の固有値の絶対値よりも大きいか等しい。しかしながら、簡単な例 ( 0 1 1 0 ) , ( 0 1 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}} により、非負行列に対しては固有値の絶対値の最大が等しい複数の固有値（上の例の最初の行列に対しては、1 と -1）が存在し得ることが分かる。さらに、絶対値最大の固有値が特性多項式の単純根ではない場合もあり得る。例えば上の例の二番目の行列に対しては、固有値0に対応する唯一の固有ベクトル (1,0) は狭義正では無い（最大固有値0は二重であって単純ではない）。したがって、正行列に対する定理の性質は、非負行列に対してはほとんど成立しないように思えるが、フロベニウスはその解決策となる概念を発見したのである。 非負行列の理論においてカギとなる概念として、既約行列（irreducible matrix）と呼ばれる、ある特別な非負行列の類が存在する。それにより、自明では無い一般化が可能になる。すなわち、絶対値が最大である固有値が複数存在する場合にも、最大固有値の構造を理解することができるのである：それらは、h をある整数（行列の周期）とし、r を狭義正の実固有値とし、l = 0, 1, ..., h − 1 とすれば、r ei2πl/h という式で表せる。そうして r に対応する固有ベクトルは、狭義正の成分を持つ（これは一般的な非負行列において、成分が非負であるだけという場合と対照的である）。またそのような固有値は全て、特性多項式の単純根である。その他の性質については、以下で述べる。
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非負行列
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「ペロン＝フロベニウスの定理」の記事における「非負行列」の解説
ペロン＝フロベニウスの定理は、一般的な非負行列に対して直接適用することは出来ない。しかし、任意の可約行列 A は、次のような上三角ブロック行列の形式で記述されうる（この形式は可約行列の標準形として知られる） PAP−1 = ( B 1 ∗ ∗ ⋯ ∗ 0 B 2 ∗ ⋯ ∗ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ ∗ 0 0 0 ⋯ B h ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}B_{1}&*&*&\cdots &*\\0&B_{2}&*&\cdots &*\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &*\\0&0&0&\cdots &B_{h}\end{smallmatrix}}\right)} ここで P は転置行列であり、各 Bi は既約かゼロのいずれかであるような正方行列である。もし A が非負であるなら、各 Bi もすべて非負であり、A のスペクトルはそれらのスペクトルの合併で与えられる。したがって、A のスペクトルに関する性質の多くは、既約な Bi に対してペロン＝フロベニウスの定理を適用することにより、得ることが出来る。 例えば、上の行列のペロン根は ρ(Bi) の最大値で与えられる。固有ベクトルの成分は依然として非負であるが、それらのどれも正ではないという場合も起こり得る。
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