さらなる性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/17 06:59 UTC 版)
「ペロン＝フロベニウスの定理」の記事における「さらなる性質」の解説
A を既約な非負行列とする。このとき、以下が成立する： (I+A)n−1 は正行列である（Meyer claim 8.3.5 p. 672を参照）。 ヴィーランドの定理：|B| 1 であるなら、以下で与えられるような行列 M が存在する。全ての k < n2-2n+2 に対して Mk は正でなく（しかしもちろん、非負である）、特に (Mn2-2n+1)11=0 である： M = ( 0 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 . . . 1 1 1 0 0 . . . 0 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1&0&0&...&0\\0&0&1&0&...&0\\0&0&0&1&...&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&0&...&1\\1&1&0&0&...&0\\\end{pmatrix}}}
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さらなる性質
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/05 03:13 UTC 版)
A や B から A ⊗R B への次で与えられる自然な準同型が存在する： A ↪ A ⊗ B ; a ↦ a ⊗ 1 B , {\displaystyle A\hookrightarrow A\otimes B;\;a\mapsto a\otimes 1_{B},} B ↪ A ⊗ B ; b ↦ 1 A ⊗ b . {\displaystyle B\hookrightarrow A\otimes B;\;b\mapsto 1_{A}\otimes b.} これらの写像によりテンソル積は可換 R-代数の圏 R-CAlg における余積となる。しかしテンソル積はすべての R-代数の圏 R-Alg においては余積ではなく、この圏における余積はより一般的な代数の自由積によって与えられる。それにも関わらず非可換代数のテンソル積は余積に似た普遍性により記述できる： （代数の）テンソル積の普遍性 任意の R-代数 X に対し、R-代数の準同型 f: A → X および g: B → X が元ごとに可換である限りにおいて、R-代数の準同型 φ: A ⊗ B → X で f(a) = φ(a ⊗ 1) および g(b) = φ(1 ⊗ b) を任意の a ∈ A, b ∈ B に対して満たすものがただ一つ存在する。 すなわち、式で書けば、自然な同型 Hom R -Alg ( A ⊗ B , X ) ≅ { ( f , g ) ∈ Hom R -Alg ( A , X ) × Hom R -Alg ( B , X ) ∣ [ f ( a ) , g ( b ) ] = 0 ( ∀ a ∈ A , ∀ b ∈ B ) } {\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Hom} _{R{\textbf {-Alg}}}(A\otimes B,X)\\&\qquad \cong \lbrace (f,g)\in \operatorname {Hom} _{R{\textbf {-Alg}}}(A,X)\times \operatorname {Hom} _{R{\textbf {-Alg}}}(B,X)\mid [f(a),g(b)]=0\ (\forall a\in A,\,\forall b\in B)\rbrace \end{aligned}}} が成立する（右辺の [,] は交換子）。
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