ウェイト (表現論)
(最高ウエイト表現 から転送)
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/13 14:00 UTC 版)
表現論という数学の分野において，体 F 上の代数 A のウェイト（英: weight）とは，A から F への代数準同型である，あるいは同じことだが，A の F 上の1次元表現である[要出典]．それは群の乗法的指標の代数の類似である．しかしながら，概念の重要性は，リー環の表現への，したがって代数群やリー群の表現への，その応用から生じる．この文脈では，表現のウェイトは固有値の概念の一般化であり，対応する固有空間はウェイト空間と呼ばれる．
注
- ^ 逆もまた正しい――対角化可能な行列のある集合が可換であることとその集合が同時対角化可能であることは同値である (Horn & Johnson 1985, pp. 51–53).
- ^ 実は，代数閉体上の可換な行列のある集合が与えられると，対角化可能と仮定せずとも，同時三角化可能である．
出典
- 1 ウェイト (表現論)とは
- 2 ウェイト (表現論)の概要
- 3 関連項目
最高ウエイト表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/06 08:24 UTC 版)
ヴィラソロ代数の最高ウェイト表現とは、 L 0 v h = h v h , L n v h = 0 ( n ≥ 1 ) {\displaystyle L_{0}v_{h}=hv_{h},\quad L_{n}v_{h}=0\quad (n\geq 1)} を満たし、 C v h = c v h {\displaystyle Cv_{h}=cv_{h}} ( h , c ∈ C {\displaystyle h,c\in \mathbb {C} } )となるようなベクトル v h {\displaystyle v_{h}} によって生成されるベクトル空間である。このとき L 0 {\displaystyle L_{0}} の固有値である複素数 h {\displaystyle h} を最高ウェイトと呼び、ベクトル v h {\displaystyle v_{h}} を最高ウェイト h {\displaystyle h} の最高ウェイトベクトルと呼ぶ。（注意：通常、表現と言った場合にはリー代数から E n d ( V ) {\displaystyle \mathrm {End} (V)} への準同型写像 ρ {\displaystyle \rho } のことであるが、ヴィラソロ代数の表現論においては上記の v h {\displaystyle v_{h}} によって生成される表現空間 V {\displaystyle V} そのものを最高ウェイト表現と呼ぶことが多い。また表現の記号 ρ {\displaystyle \rho } は省略して、よく ρ ( L n ) v {\displaystyle \rho (L_{n})v} を L n v {\displaystyle L_{n}v} と表記する。またヴィラソロ代数の元としての C {\displaystyle C} とその固有値 c {\displaystyle c} とに同じ文字 c {\displaystyle c} が使われることもある。） ヴィラソロ代数の最高ウェイト表現は以下の形のベクトル L − n 1 L − n 2 ⋯ L − n l v h ( n 1 ≥ n 2 ≥ ⋯ ≥ n l > 0 ) {\displaystyle L_{-n_{1}}L_{-n_{2}}\cdots L_{-n_{l}}v_{h}\quad (n_{1}\geq n_{2}\geq \cdots \geq n_{l}>0)} の線形結合によって張ることができる。またこの形のベクトルがすべて線形独立であるとき、その最高ウェイト表現をヴァーマ加群（英語版）と呼ぶ。これらのベクトルはすべて L 0 {\displaystyle L_{0}} の固有ベクトルであり、その固有値は h + ∑ i = 1 l n i {\displaystyle h+\sum _{i=1}^{l}n_{i}} である。従って最高ウェイト h {\displaystyle h} のヴァーマ加群は L 0 {\displaystyle L_{0}} の固有空間によって分解され、固有値 h + n {\displaystyle h+n} ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) の固有空間の次元は n {\displaystyle n} の分割数 p ( n ) {\displaystyle p(n)} となる。またこのときの n {\displaystyle n} をその固有空間のレベルと呼ぶ。 最高ウエイトベクトル v h {\displaystyle v_{h}} によって生成される最高ウエイト表現 V h {\displaystyle V_{h}} には以下の条件によって定まる不偏内積 ( ⋅ , ⋅ ) : V h ⊗ V h → C {\displaystyle (\cdot ,\cdot ):V_{h}\otimes V_{h}\rightarrow \mathbb {C} } が定義される： ( L n w 1 , w 2 ) = ( w 1 , L − n w 2 ) , ( v h , v h ) = 1 , w 1 , w 2 ∈ V h . {\displaystyle (L_{n}w_{1},w_{2})=(w_{1},L_{-n}w_{2}),\quad (v_{h},v_{h})=1,\qquad w_{1},w_{2}\in V_{h}.} 最高ウエイト表現の2つのベクトルはレベルが異なるとき不変内積について直交する。どの複素数の組 ( h {\displaystyle h} , c {\displaystyle c} ) についても、既約最高ウェイト表現が一意的に存在する。
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